ЛНР, г. Луганск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 12.03.2025 22:35
Писаревская Татьяна Вадимовна
Учитель математики
61 год
356
120 985 
Местоположение
Специализация
Конспект урока по теме "Скалярное произведение векторов"
Категория:
Математика
05.02.2019 15:38
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме "Скалярное произведение векторов"»
Скалярное
произведение векторов
Писаревская Татьяна Вадимовна,
учитель математики
ГУ «Гимназия № 60»
г. Луганск
Уильям Роуэн Гамильтон
Дата рождения: 4 августа 1805
Место рождения: Дублин, Ирландия
Дата смерти: 2 сентября 1865 (60 лет)
Научная сфера: математика, механика, физика
1834—1835: классические работы по гамильтоновой механике.
1837: избран президентом Ирландской королевской академии и членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
1843: открывает кватернионы и углубляется в их исследование.
Джеймс Клерк Максвелл
Дата рождения: 13 июня 1831
Место рождения: Эдинбург, Шотландия
Дата смерти: 5 ноября 1879 (48 лет)
Научная сфера: физика, математика, механика
Место работы: Университет Абердина, Кингс-колледж (Лондон), Кембриджский университет
Альма-матер: Эдинбургский университет, Кембриджский университет
Известен как:
автор представлений о токе смещения и уравнений Максвелла, распределения Максвелла, демона Максвелла
Награды и премии: Премия Смита (1854), Премия Адамса (1857), Медаль Румфорда(1860)
Угол между векторами
b
О
a
b
Угол между векторами и
равен .
a
b
a
=
4
Найдите угол между векторами
a
b
30 0
=
a
a
c
120 0
=
f
d
c
b
30 0
90 0
=
c
b
d
c
180 0
=
f
d
0 0
=
5
Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
a
b
a
cos ( )
b
b
a
=
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
6
Частный случай №1
b
a
b
= 90 0
a
= 0
a
b
cos 90 0
a
b
= 0
=
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a
b
a
b
= 0
7
0 a cos b b a 0 = Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b a b 90 0 0 8 " width="640"
Частный случай №2
b
a
b
90 0
a
0
a
cos
b
b
a
0
=
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.
a
b
a
b
90 0
0
8
90 0 a 0 a cos b a b 0 = Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b a b 90 0 0 9 " width="640"
Частный случай №3
b
b
a
90 0
a
0
a
cos
b
a
b
0
=
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.
a
b
a
b
90 0
0
9
Частный случай №4
b
a
= 0 0
b
1
a
a
b
a
cos 0 0
b
b
a
=
=
b
b
a
= 180 0
a
-1
cos 180 0
b
a
a
b
a
b
= –
=
10
Частный случай №5
a
a
= 0 0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
cos
2
0 0
=
=
=
a
a
Скалярное произведение называется
скалярным квадратом вектора и обозначается
a
a
2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
a
2
2
=
11
Формула для нахождения скалярного произведения
через координаты векторов
b
a
= ?
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
a
b
=
12
Произведение называется скалярным квадратом и обозначается . Из формулы скалярного произведения следует равенство
12
Для скалярного произведения векторов справедливы свойства, аналогичные свойствам произведения чисел:
1.
2.
3.
Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в
F
N
M
точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos
A = F MN
15
Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
b {-1; 0; 7}
a {-6; 9; 5}
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
b
a
=
-6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41
a
b
=
16
Пример №2
Найти скалярное произведение векторов:
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
a
b
=
b
a
= 2∙1+0∙11+3∙1=5
17
Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
= 9,
= 4,
60 0
18
Пример №4
4. Найти скалярное произведение векторов:
a {sin(90 0 ); 2; 3}
b {3; 2; 1}
1 3 + 2 2 + 3 1 = 10
b
a
=
19
Пример № 5
Определить вид угла между векторами:
b {- 2 ; 3 ; 5 }
a { 4 ; -9 ; 1 }
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
a
b =
4 (-2)+(-9) 3+1 5=-30
a
b =
a
b -
тупой
20
Пример №6
Перпендикулярны ли векторы?
a { 2 ; 3 ; 6 }
b { 3 ; 2 ; -1 }
a
b
b
a
= 0
⁄
21
Пример №7
Вычислите, какую работу А производит сила , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения В(5;-1;-5) в положение С(2;1;-7).
А= -5∙ (-3) + 4 ∙ 2 +3∙ (-2) = 15 + 8 – 6 = 17
21
Решение упражнений
№ 244(б);
№ 251(а);
№ 239(б,а);
№ 242;
№ 246.
21
Домашнее задание
Читать п.7
Выполнить №№ 234, 235(а),
236(б,в), 238(б), 241(а)
21
Решить тест
21
Упражнение для глаз
Отдых для глаз
Не отрывая глаз, смотрите на двигающийся круг
«Поурочные разработки по геометрии: 11 класс». / Сост. В.А. Яровенко.
Ответы
І вариант
ІІ вариант
- - 4
- - 6
- 3
- - 8
- 0,8
- 135 0
- 22
- - 20
- 2,8
- 4
- 0,6
- 150 0
0 Г. Векторы равны Д. Угол между векторами тупой " width="640"
Задания из сборника ВНО
Установите соответствие:
- и 3) и
2) и 4) и
Утверждение
А. Векторы перпендикулярны
Б. Векторы коллинеарны, но не равны
В. Скалярное произведение векторов 0
Г. Векторы равны
Д. Угол между векторами тупой
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
