Конспект урока по теме: "Свойства степени с целым показателем" (Алгебра, 8 класс)

8 класс АЛГЕБРА Урок № __

Тема: Свойства степени с целым показателем.

Тип: урок – изучения нового материала.

Цель: изучить свойства степени с целым показателем и их использование при решении
задач.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие

II. Сообщение темы и цели урока

III. Повторение и закрепление раннее пройденного материала

1. Разбор решения домашней работы

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант I

1. Представьте в виде дроби выражение 5х²у^-3z⁰.

Варианты ответов: а) ; б) ; в) .

2. Найдите значение выражения + ∙ 2^-3.

Варианты ответов: а) 0,75; б) ; в) .

3. Упростите выражение (у^-2 - х^-2) : (у – х).

Варианты ответов: а) ; б) ; в) .

Ответы на I Вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – в).

Вариант II

1. Представьте в виде дроби выражение 6х⁰у^-5z³.

Варианты ответов: а) ; б) ; в) .

2. Найдите значение выражения ∙ + ( ^-6.

Варианты ответов: а) ; б) ; в) .

3. Упростите выражение (a^-2 + b^-2) : (a² + b²).

Варианты ответов: а) ; б) ; в) .

Ответы на II Вариант: 1 – б); 2 – в); 3 – а).

IV. Изучение нового материала (основные понятия)

- Давайте вспомним свойства степени с натуральным показателем, которые мы изучили в 7 классе.

1) a^m ∙ aⁿ = a^m+n ; 2) a^m : aⁿ = a^{m – n} ; 3) )ⁿ = a^mn ;

4) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ; 5) = (при b ≠ 0).

А теперь, давайте на примерах проверим, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением a ≠ 0, b ≠ 0).

Пример 1

а) = = = = = = (свойство 1).

б) (2 ∙ 3)^-2 = = и = = , т.е (2 ∙ 3)^-2 = (свойство 4).

- На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1 – 5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

- Я предлагаю вам доказать, например, свойства 1 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Пример 2

Докажем свойство 1, то есть a^m ∙ aⁿ = a^m+n (где т и п – целые отрицательны числа, a – любое число (a≠ 0)).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем a^m = и aⁿ = . Числа (-т) и (-п)являются уже натуральными. Поэтому по свойству степеней с натуральными показателями получаем:

a^m ∙ aⁿ = ∙ = = = = a^m+n. На заключительном этапе вновь было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

Пример 3

Докажем свойство 4, то есть (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (где п – целое отрицательное число, a и b – любые числа (a≠ 0, b≠ 0).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем (ab)ⁿ = . Число (-п) будет уже натуральным. По свойству степеней с натуральными показателями имеем: (ab)ⁿ = = = = aⁿ bⁿ. В конце снова было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

Таким, образом, свойства 1 – 5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

Пример 4

Преобразуем выражения: а) ; б) ; в) ( ^-4 ; г) ( ^-2.

а) Учтём, что при умножении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Получаем = = .

б) При делении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. Имеем: = .

в) При возведении в степень дроби возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Получаем: ( ^-4 = ( ^-4 ( ^-4 = = .

г) При возведении в степень дроби возводят в эту степень её числитель и знаменатель и результаты делят. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Имеем: ( ^-2 = = = .

Упомянутые свойства степеней используются и при решении более сложных задач.

Пример 5

Упростить выражение:

а) ( ^-2 ( ^-2 : ( ²;

б) .

Используем свойства степеней и получим:

а) ( ^-2 ( ^-2 : ( ² = = = = .

б) = = = = = = .

V. Решение упражнений

№ 986; 1079; 989; 990; 992; 993; 999.

VI. Домашнее задание

№ 985; 991; 994.

VII. Оценивание