Конспект урока "Радианная мера угла"

Тема: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической.

Длина этой окружности , как мы помним из уроков геометрии,  . А учитывая, что R=1,  , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад. ;

 α рад=(180/π α)° (1)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. 

1. Пусть   Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол 

2. Пусть   точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол - α.

3. При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Пример 1.

Найти градусную меру угла, равного   рад.

Решение: Используя формулу (1), находим  .

Так как  , то   рад, тогда   (2)

Ответ:  .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60 .

Решение: Вычисляем по формуле (2):   рад

 рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ:   ,   .

Как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.

1.Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. Точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол   переместилась в точку Рₐ.

Синусом угла  называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол  . Обозначается  . Угол   может выражаться и в градусах и в радианах.

Пример 1. Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку В(0;1). Ордината точки В равна 1, значит  или Абсцисса точки В равна 0, значит 

Пример 2. Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку . Найдите   и 

Ответ:  = 0; 

Пример 3. Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку   . Найдите   и  . Ответ:  = 1 = 0.

Определение. Тангенсом угла   называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg : tg , 

Пример 4. Найти tg 0. Вычислим по формуле tg   =  = 0.

Определение. Котангенсом угла   называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg . сtg

Пример 5. Найти сtg  . Вычислим по формуле сtg   = 

2. Меру угла (в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому   и   – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше  .

Какие знаки имеют координаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти  у точек второй четверти 

у точек третьей четверти  у точек четвёртой четверти 

Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол  .

Синусом угла   является ордината точки В(х;у). Косинусом угла  является её абсцисса. Образовался прямоугольный треугольник ОВС.

По теореме Пифагора  Катет ОС - это абсцисса точки В или  , катет ВС- её ордината, или  а гипотенуза ОВ - радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:  (1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, что зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

 (2)  (3)

В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти  , если   ,  .Выясним знак косинуса. Из условия опрелеляем, что угол   в 4 четверти,  Подставим значение   в формулу (3), получаем:

Ответ:  .

Пример . Известно, что  ;   . Найти  ,   и  .

Угол   в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;

2. ;

3. . Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел

  ,  ,   и  , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.