Действия над комплексными числам
"Комплексное число –
это тонкое и поразительное средство божественного духа,
почти амфибия между бытием и небытием".
Г. Лейбниц
Цели урока: познакомить учащихся с историей комплексных чисел; формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами;
развивать мыслительную деятельность учащихся; развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала;
воспитывать способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя.
Тип урока: усвоение новых знаний
Оборудование: опорный конспект, презентация
Ход урока
І. Организационный момент
ІІ. Проверка домашней работы
IІІ. Актуализация опорных знаний
ІV. Изучение нового материала
Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.
Пример. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i .
Найти:
а) z1 + z2 = …= 7 – 4i; б) z1 – z2 = …= – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2×3×5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i2 + 27i3;
так как i2 = – 1, а i3 = – i, то получим (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.
Рассмотрим теперь применение формулы
(a + b)(a – b) = a2 – b2. (*)
Пример. Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 22 – (5i)2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2.
- Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Пример. Выполнить деление:
Решение.
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,
Пример. Решите уравнение:
а) x2 – 6x + 13 = 0; б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) Умножение.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:
z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z1· z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r20.
Пример. Найти произведение чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то
= [cos (φ2 - φ1) + i sin (φ2 - φ1)]
Пример. Найти частное чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда (cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).
V. Формирование умений и навыков
Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
1) (3 + 5i) + (7 – 2i). 2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i). 4) (5 – 4i) + (6 + 2i). 5) (– 5 + 2i) + (5 + 2i). 6) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).
Произведите умножение комплексных чисел:
9) (2 + 3i)(5 – 7i). 10) (6 + 4i)(5 + 2i).
15) (6 + 4i)3i. 16) (2 – 3i)(– 5i).
Выполните действия:
17) (3 + 5i)2. 18) (2 – 7i)2.
22) (3 – 2i)3. 23) (4 + 2i)3.
25-30. Выполните действия:
25) (3 + 2i)(3 – 2i). 27) (1 – 3i)(1 + 3i).
28) (7 – 6i)(7 + 6i). 29) (a + bi)(a – bi).
Решите уравнения:
32) x2 – 4x + 13 = 0. 33) x2 + 3x + 4 = 0.
VI. Подведение итогов урока.
«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин
VII. Домашнее задание