Конспект урока по теме "Показательные уравнения"

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения»

Цель: систематизировать знания о способах решения показательных уравнений, подготовить студентов к сдаче ЕГЭ.

Оборудование: КИМы, ЕГЭ, таблицы по темам «Показательная функция», «Показательные уравнен

^ Ход урока.

1. 
   Организационный момент (1 минута).

Комментарий учителя: во всех вариантах тестов ЕГЭ имеются задания с использованием показательных функций, неравенств, уравнений и систем уравнений. Сегодня мы восстановим представление о смысле понятия «показательное уравнение», систематизируем алгоритмы решения показательных уравнений. Все показательные уравнения, какой бы степ решаются по единым алгоритмам. Их всего пять. Рассмотрим и решим на уроке показательные уравнения в заданиях разного типа: с выбором ответа, с кратким ответом и с подробным решением. При этом надо помнить о теоремах равносильности. Ведь основная идея решения уравнений – идея равносильности уравнений.

1. 
   Устные упражнения (3 минуты).

1. 
   На одном из рисунков изображен график функции _. Укажите этот рисунок.

1. 
   Найти множество значений функции:

а) ; б)  

1. 
   Упростить выражения: 

а) 2^х·2^3,5 ; б)  ; в) ; г) 2^х·3^х

1. 
   Решить уравнения: 

а) 2^х = 4 ; б) 5^х = 1 ; в) π^х = 0 ; г) 9^х = -81 ; д) 2^х = х+1

1. 
   Выяснить, сколько корней имеет уравнение?

16^|х| = 4 

1. 
   Воспроизведение и коррекция опорных знаний (14 минут).
   
   Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа – разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске.
   ^ I. Уравнивание оснований:
   а^х = а^у
   
   х = у
   1) Задание с выбором ответа.
   
   
   
   Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
   
   а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4)
   
   2) Решить уравнение:
   
   81·2^х - 16·3^х = 0 ;
   
   3⁴·2^х = 3^х·2⁴ ;
   
   ;
   
   х = 4. 
   
   Ответ: 4.
   ^ II. Логарифмирование обеих частей уравнения.
   a^х = b
   
   х = log_ab (b0, a0, a≠1)
   Пример. Решить уравнение:
   5^х-8 = 9 
   
   х-8 = log₅9
   х = 8+ log₅9
   
   Ответ: 8+ log₅9
   
   III. Вынесение общего множителя за скобки.
   Примеры. Решить уравнения:

1. 
   2^х + 2^х-1 + 2^х-2 = 5^х + 5^х-1 + 5^х-2

2^х-2(2² + 2 + 1) = 5^х-2(5² + 5 + 1)

2^х-2·7 = 5^х-2·31



x - 2 =  

х = 2 + 

Ответ: 2 + 
IV. Введение вспомогательной переменной

(задания с кратким ответом и с развернутым ответом)

1. 
   Записать корень уравнения или сумму корней: 5^2х - 4·5^х – 5 = 0.

Пусть 5^х = t (t0), тогда уравнение примет вид:

t² – 4t – 5 = 0

t₁ = 5 ; t₂ = -1 – посторонний корень, так как t0.

Вернемся к переменной «х»: 5^х = 5 ; х = 1.

Ответ: 1

1. 
   0,5 ·4⁺² - 35·2+12=0

Преобразим уравнение: 0,5 ·2^{2(+ 2)} – 35 · 2+12 = 0

1. 
   0,5 · 2²· 2⁴ – 35 · 2 + 12 = 0

Введем замену: 2= t, (t  0).

8 t² – 35 t + 12 = 0

Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t₁ = 4; t₂ = 

Вернемся к замене:

1) 2= 4 2) 2= 

2= 2² Прологарифмируем эти части уравнения при 

 = 2 основании 2:

х = 4 = log₂

т.к. log₂ 
основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет.

Ответ: 4.
^ V. Функционально-графический метод.

1. 
   Решить уравнение: 2^х =  (ответ: корней нет)

б) 2^х+1 =  (ответ: х = 1)

в) 3^х + 4^х = 5^х (ответ: х = 1)

4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (15 минут).
Образцы вариантов.

Во время выполнения работы, учитель, если необходимо, помогает учащимся низкого уровня при решении примеров наводящими вопросами. 

1. 
   Решить уравнение: 3^3х+4 = 

2. 
   Решить уравнение: 32^х-1 = 

3. 
   Найти корни уравнения: 49^х·7^4-х = 

4. 
   Найти меньший корень уравнения: 

1) -1 2) - 3) 1 4)

1. 
   Найти наибольший корень уравнения: 

1. 
   0 2) 2 3) -2 4) 1

6) Найти значение выражения: (х₁ – х₂)², где х₁ и х₂ – корни уравнения 

1. 
   Найти сумму корней уравнения:

49·7^2х - 50·7^х +1 = 0

1) 1 2) 2 3) -2 4) 50

Во время самостоятельной работы учитель берет по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй группы и предлагает выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам. 

По истечению времени учащиеся сдают работы. 
5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).
Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы. 

6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты).
Для домашнего задания предлагается решить уравнения, цель которого – закрепить умения и навыки решать показательные уравнения. Прокомментировать некоторые задания.

1. 
   Решить уравнение: 2^х-1 + 2^х+1 = 20

2. 
   

3. 
   5^2х + 4·5^х – 5 = 0

4. 
   2^3х·5^х = 1600

5. 
   2^9х+9·3^7х+3·5^6х = 720^х+3
   
   
   
   Разбор заданий (д/з)

1. 
   2^х-1 + 2^х+1 = 20

2^х-1(1 + 2²) = 20

2^х-1 = 4

x – 1 = 2

x = 3

Ответ: 3.

2.

Корней нет, так как  при любых х

3.
5^2х + 4·5^х – 5 = 0

5^х = -5 или 5^х = 1

Корней нет, т.к. 5^х0 х = 0 

Ответ: х = 0.

4.
2^3х·5^х = 1600

8^х·5^х = 1600

40^х = 40²

x = 2

Ответ: 2.

5.
2^9х+9·3^7х+3·5^6х = 720^х+3

2^9х+9·3^7х+3·5^6х = 







5х – 3 = 0

5х = 3

x = 0,6

Ответ: 0,6.