Конспект урока "Теорема Пифагора"

Открытый урок

по

геометрии

в 8 классе

Пребудет вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков

Поэтому всегда с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее кочуя, вслед

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

А.Шамиссо.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Задача 3.

Над озером тихим,

с полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Более цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.

Задача 2

«На берегу рос тополь одинокий .

Вдруг ветра порыв его ствол надломил.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, сколько теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача 1

Случися некоему человеку к стене лестницу

приврати,стены же тоя высота есть 117

стоп. И обрете лествицу долготою 125

стоп. И ведати хощет, колико стоп сея

лествицы нижний конец от стены

отстоять имать.

ДАТА

Тема: Теорема Пифагора.

Цели урока:

Образовательная. Научить пользоваться теоремой Пифагора при решении задач.

Развивающая. Формировать навыки решения задач с использованием теоремы Пифагора.

Воспитательная. Воспитание самостоятельности, формирование интереса к предмету.

Оборудование: рисунки, таблицы, карточки для индивидуальной работы.

Ход урока.

1. Организация урока. Приветствие, проверка посещаемости, наличия учебных принадлежностей, выяснить причины отсутствия. Ознакомить с планом урока.

ПЛАН УРОКА.

1. Повторение.

2. Историческая справка.

3. Теорема Пифагора.

4. Закрепление материала.

5. Значение теоремы Пифагора.

1. Повторение.

1. Устно. Повторение пройденного материала. (используются рисунки, прикрепленные на доске.)

1. Какой треугольник изображен на рисунке 1? (прямоугольный)

2. Назовите катеты и гипотенузу.

(МК и КР – катеты, МР – гипотенуза)

1. Выразите cos M, cos P.

(cos M=MK/MP; cos P= PK/PM).

4. Какой треугольник на рис.2. Чем он интересен?

М

К Р

Рис.1

(Равнобедренный, прямоугольный. Углы при основании по 45 градусов. Его можно достроить до квадрата со стороной, равной катету.)

В С

Рис. 2

II. Изучение нового материала.

Метод. Беседа с элементами проблемного обучения. (Ученикам на предыдущем уроке было предложено написать небольшое сообщение о Пифагоре, пифагорейской школе ).

Сегодня вы познакомитесь с одним из немногих теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. Но сначала я расскажу вам о математике, именем которого названа эта теорема.

в Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.) О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки многих стран. вернувшись на родину, Пифагор организовал кружек молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так, на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических открытий приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, что установить о Пифагоре правду невозможно.

• Ребята, знаете ли вы что-нибудь связанное с именем Пифагора?

(Некоторые ученики дополняют рассказ учителя).

Запишем тему урока: «Теорема Пифагора».

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.»

давайте нарисуем прямоугольный треугольник (рис.3) и запишем эту формулировку в обозначениях:

АВС,

А

b c (рис. 3)

С a В

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

«Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».

или

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.»

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонам, китайцам и индийцам под названием «правила веревки» и использовалась для строительства алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. в настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, одно из них принадлежит Пифагору или его ученику.

вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. (рис.4)

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

рис. 4

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозвавшиеся поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны во все стороны равны», рисовали карикатуры.

III. Теперь докажем теорему.

Итак, докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Выполним ( рис.7) и запишем доказательство в обозначениях

c

a d b

Д

оказательство:

1



. Дополнительное построение: СD – высота

И

AC²+CB²=AB²

IV Закрепление нового материала.

Задание выполняется устно: составьте по рисункам, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство.

1. Рис. 8. (Ответ: x²=3²+4².) Вычислите, чему равна гипотенуза (Ответ: 5)

х

4 Рис. 8

3

2.

1. х Рис.9 (Ответ: в данном

2. случае использовать теорему Пифагора использовать нельзя, т.к. неизвестно о каком виде треугольника идет речь.)

• Итак, ребята, сделаем выводы ответив на вопрос:

• на что надо обратить особое внимание при решении теоремы Пифагора?.

• (Ответ: чтобы использовать теорему Пифагора, надо убедиться, что треугольник прямоугольный.)

Алгоритм решения задач

по теореме Пифагора.

1. Внимательно прочти задачу, разберись с условием.

2. По условию сделай чертеж.

3. Выдели на чертеже прямоугольный треугольник. Можно использовать цветную пасту.

4. Найди в треугольнике катеты и гипотенузу.

5. Запиши теорему Пифагора и соотнеси данные в задаче с ней.

6. Выполни подстановку данных.

7. соотнеси полученный ответ с вопросами задачи и смыслом условия.

8. Грамотно запиши ответ.

Решим старинные задачи, в которых будет работать теорема Пифагора.

Задача первая. Читаю задачу как она была записана в те времена:

Случися некоему человеку к стене лестницу приврати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстоять имать.

(на доске один из учеников выполняет чертеж (рис. 10), объясняет и кратко записывает решение задачи. Остальные работают в тетрадях.)

Решение.

1. Пусть СВ=х стоп. По т. Пифагора, имеем равенство:

Ответ: 44 стопы.

А

117

125

С В

Задача вторая. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII в. Бахаскары:

« На берегу рос тополь одинокий C.

Вдруг ветра порыв его ствол надломил.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка. 3

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, сколько теперь мне скажи: А

У тополя как велика высота?» 4 D

Дано: тр.АВС, А=90гр

АС=3 фута, AD=4 фута

Найти:АВ

Решение:

1. АВ=АС+СD

2. По теореме Пифагора

1. AB=3+5=8

Ответ: 8 футов.

Задача 3.

Над озером тихим,

с полфута размером, высился лотоса цвет. В С

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Более цветка над водой. х

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока. D

Решение задачи:

CD – глубина озера, обозначим ее через x. Тогда по теореме Пифагора имеем:

Ответ: 3 фут

1. Значение теоремы Пифагора.

теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

1. Задание на дом: п.63, 64, №2(3), 4, 18.

12