Контрольная работа 9 класс

І часть (5 баллов)

В задании 1– 5 запиши ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.

1. В треугольнике два угла равны 72° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

2. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 10. Найдите BC, если

1. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания BC.

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

1. Укажите номера верных утверждений.

1. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3. В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности.

4. ІІ часть (4 балла)

Решение заданий 6 – 7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами.

6.  Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

7. На рисунке треугольник АВС - равнобедренный с основанием ВС. Найдите скалярное произведение векторов АВ И АС, если АС=10, В=75⁰

В

А

С

ІІІ часть (3 балла)

Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами.

8. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

	Ответ
1	66
2	Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол C - прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем BC: Ответ: 12
3	Проведем вторую высоту и введем обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники ABH и CKD, они прямоугольные, AB равно CD, BH равно CK, следовательно, эти треугольники равны, откуда Найдем отрезок Высоты BH и CK перпендикулярны AD, значит, они параллельны, BH равно CK, следовательно, HBCK  — прямоугольник, поэтому Ответ: 7.
4	2,5
5	2,3
6	Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Угол ODC и CAH равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники COD и ACH, они прямоугольные, углы ODC и CAH равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: Получаем: Из прямоугольного треугольника ACH, используя теорему Пифагора найдем Ответ: 9. Возможно другое решение, приводящее к правильному ответу
7.	Скалярным произведение двух векторов называется произведение их длин на косинус кгла между ними АВ × АС = |АВ| ×|АС|×сosA, A= 180-75×2 = 300 102 × сos 300 = 50
8.	Решение. С тороны треугольника, вершинами которого является центры этих трёх окружностей, равны 5, 12 и 13. Поскольку   , этот треугольник прямоугольный. Площадь этого треугольника равна 30. В то же время, она равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Значит, искомый радиус равен  Ответ: 2.