Конус. Сечения конуса плоскостями. Урок по геометрии в 11 классе.

Урок по геометрии в 11 классе

Учитель МБОУ Евдокимовской средней общеобразовательной школы

Ковалева Ж. А.

Конус. Сечения конуса плоскостями.

Цель : 1.Продолжить формирование систематических сведений об основных видах тел вращения.
2. Разобрать определение конуса и подчиненных понятий : основание, вершина, образующая.
3.Рассмотреть сечения конуса , проходящие через вершину , в том числе осевые ,и перпендикулярные оси .
4. Способствовать развитию пространственного воображения учащихся.

Тип : комбинированный

Оборудование : набор геометрических тел : цилиндры, призмы, пирамиды, конусы: полные и усеченный ; предметы имеющие форму конуса или усеченного конуса.

Ход урока :

I Организационный момент : проверить готовность класса к уроку , организовать учащихся на восприятие и выполнение работы.

II Актуализация знаний учащихся :

1. Давайте повторим пройденный нами материал по геометрии, вспомним курс черчения и попробуем назвать тела, которые находятся у меня на столе (учитель показывает тело – дети его называют).
   
   

2. (Учитель показывает пузырек из – под лекарств). Сочетанием каких геометрических тел образована форма этого предмета? (ученик выходит к доске показывает и называет составные части предмета: 2 цилиндра и усеченный конус)
   
   

3. Давайте внимательно посмотрим на предметы, которые находятся у нас в классе и назовем те из них которые по форме напоминают
   конус или усеченный конус. ( ведро, цветочный горшок, ведерко из – под майонеза, указка.)

III Новый материал :

Сегодня мы будем изучать конус. Подпишем тему сегодняшнего урока : « Конус » и нарисуем конус в тетрадях (учитель выполняет рисунок на доске по правилам построения изометрической проекции окружности ( рис. 442 учебника ).

1. Теперь давайте попробуем дать определение конуса. (Конусом называется тело, которое состоит из круга, точки не лежащей в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга).

Как называются составные части конуса? ( основание , вершина , образующие )

Что называют образующими конуса ? ( отрезки , соединяющие вершину конуса с точками окружности основания )

Что называется высотой конуса ? ( перпендикуляр , опущенный из его вершины на плоскость основания )

Из чего состоит поверхность конуса? ( из основания и боковой поверхности )

2. Прямой конус

Так же как в школьном курсе геометрии мы рассматриваем только прямые цилиндры , конусы мы будем рассматривать тоже прямые. ( учитель показывает прямые конусы )

Какой же конус мы будем называть прямым ?

(если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания ).

Что мы можем сказать о высоте прямого конуса (основание высоты совпадает с центром основания ) , об образующих прямого конуса (равны между собой ).

Что называется осью конуса ? ( прямая , содержащая его высоту )

Параграф который мы начали изучать называется « Тела вращения » и мы уже знаем ,что прямой цилиндр можно наглядно представить как тело, получаемое при вращении какой фигуры ? ( прямоугольника около его стороны как оси ).

А как же получить наглядное представление о прямом конусе, как о теле вращения? ( вращение прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси ).

1. Сечения
   
   Теперь рассмотрим вопрос о сечениях конуса плоскостями.
   Каким образом можно провести сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?
   
   а) сечение проходящее через вершину конуса и не содержащее ось конуса ( разобрать по рис. 444 учебника )
   
   Задаются вопросы : что собой представляет это сечение ? (треугольник )
   Какой треугольник и почему? ( равнобедренный , т. к. боковые стороны являются образующими конуса )

б) сечение проходящее через вершину и ось конуса. (рис. 445 учебника, рис.1 на доске ученик строит сечение и комментирует )

Вопросы : как называется такое сечение ? ( осевое )
Что мы можем сказать об этом сечении? ( равнобедренный треугольник, где боковые стороны являются образующими конуса; основание треугольника – диаметр основания конуса )

Р ешаются задачи по рисунку 1 ( устно )

N 9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.

Решение: из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора l² = 3² + 4² = 25 ; l = 5 м

N 10 Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите высоту.

Решение : H= l cos 30⁰ = l /2

Для решения задачи N12 вызвать ученика к доске.

N 12 В равностороннем конусе ( в осевом сечении правильный треугольник ) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен .(рис 467 учебник)

Решение : l= 2R ; S=1/2 (4R² sin  ) = 2R² sin .

Мы рассмотрели сечения конуса плоскостями, проходящими через вершину конуса. А что будет представлять собой сечение конуса плоскостью параллельной плоскости основания конуса.
( круг ). Давайте докажем это.
Преобразование гомотетии относительно вершины конуса совмещает сечение конуса с основанием конуса. А так как основанием конуса является круг, следовательно , это сечение тоже круг ; а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса.
Это Теорема 20.2 Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Задача N 15 ( разобрана в учебнике ) вызвать ученика для решения (по рис 446 учебника и рис. 2 на доске ).
Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.

Решение : d / H = r / R, следовательно r = Rd / H. S =  R² d² / H².

1. У сеченный конус.

Обратите внимание, на какие две части разбивает конус плоскость параллельная основанию конуса. Рис 2.
( на меньший конус и усеченный конус )

«Учитель стирает на рисунке меньший конус, получая при этом усеченный конус.»
а) Что мы можем сказать об усеченном конусе ? ( ограничен двумя кругами – основаниями; образующие равны; высота – расстояние между плоскостями основания ; ось – ось исходного конуса ).

б ) изобразите у себя в тетрадях усеченный конус и постройте его осевое сечение.( учитель строит осевое сечение на доске ).
Что из себя представляет осевое сечение усеченного конуса? (равнобокая трапеция с основаниями равными диаметрам оснований усеченного конуса )

Задача : высота усеченного конуса Н. Радиусы усеченного конуса R₁ и R₂ . Найдите длину образующей. ( по рис. 3 в тетрадях). «решает ученик у доски»

Решение : по теореме Пифагора :

l²= H² +(R₂-R₁)²

рис.3

(эту формулу в рамочку )

Задача 19 ( устно по рис. 3) Радиусы оснований усеченного конуса 3м и 6м, высота 4м. Найдите образующую.

Решение : l²= 4²+( 6-3 )² = 16+9 = 25 ; l = 5м

Задача 21 ( письменно ученик у доски по рис. 3 ) Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60⁰. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каждый из радиусов.

Решение: пусть х – один радиус, тогда 2х – другой радиус. АК = АО – А₁О₁ = 2х – х = х. Х = 2а cos 60⁰ = а – один радиус, 2а – другой радиус.

Задача 23 ( письменно по рис .3 ) Площади оснований усеченного конуса 4дм² и 16дм². Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.

Р ешение: по теореме Фалеса получаем среднюю линию трапеции . Средняя линия трапеции ( диаметр сечения ) равна полусумме оснований , в данном случае сумме радиусов оснований. Следовательно радиус сечения равен полусумме радиусов оснований. Из формулы для площади круга находим радиусы оснований :

S_{с еч.} = 9 дм²

IV Итоги урока:

Давайте вспомним, а какие предметы по форме напоминающие конус или усеченный конус мы встречаем в повседневной жизни.

Выставление оценок.

V Д / З : п. 184 – 185 , N 11, N 20, N 22.

Приложение 1
Оформление доски перед началом урока

К онус. Сечения конуса плоскостями.
Д/з § 20 п. 184-185
№ 11, 20, 22

рис1 рис 2

Оформление доски в процессе урока

К

l²=H²+(R-R₁)²

рис1 рис 2