Конус Усеченный конус

Миасский городской округ

МАОУ «Гимназия №19»

Конус

Проверила:

Копылова Светлана Викторовна, учитель математики

История изучения геометрического тела конус

• Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей эры греческие геометры сделали серьезные шаги к строгому обоснованию геометрии. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожено Евклидом в его знаменитом труде «Начала».
• В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся катетом, называется основанием конуса.
• Евклид рассматривал только прямые конусы.

Евклид (330-275гг. до н.э.)

История изучения геометрического тела конус

В  XII книге «Начал» Евклида содержится следующие теоремы.

• Объем конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.
• Отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.
• Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.

Евдокс Книдский

Демокрит

История изучения геометрического тела конус

Ученик Евклида дал полное изложение теории «Конические сечения»: зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа: параболу, эллипс, гиперболу .

• Понятие конической поверхности ввел в “Конических сечениях”. Вот что пишет Аполлоний Пергский: ”Если от какой-либо точки окружности круга, который не находится в одной плоскости с некоторой  точкой, проводить прямые, соединяющие эту точку с окружностью, и при неподвижности точки перемещать прямую по окружности, возвращая ее туда, откуда началось движение, то поверхность, описанную прямой и составленную из 2 поверхностей, лежащих в вершине друг против друга, из которых каждая бесконечно увеличивается, если бесконечно продолжать описывающую прямую, я называю конической поверхностью, неподвижную  же точку - её вершиной, а осью - прямую, проведённую через эту точку и центр круга».

Аполлоний Пергский  (ок.260-ок.170гг до н. э.)

Евдокс Книдский

(408 - З55 гг. до. н. э. )

История изучения геометрического тела конус

Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы объема конуса дал Евдокс Книдский. В 12 книге «Начал» доказывается, что:

• Объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего то же основание и ту же высоту.
• Отношение объемов конусов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
• Объемы 2 подобных конусов, т. е. таких, у которых оси и диаметры оснований пропорциональны, относятся как кубы диаметров.
• Отношение объемов 2 конусов, площади оснований которых равны, равно отношению высот. По определению Евклида, конус образуется от вращения прямоугольного треугольника, вокруг одного из катетов.

Определение конуса

Конус – геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Отрезки, соединяющие вершину с точками окружности основания, называются образующими .

Эта фотография , автор: Неизвестный автор, лицензия: CC BY-SA

Типы конусов

• Прямой круговой конус. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину с центром основания, перпендикулярна ему. У прямого конуса этот перпендикуляр является высотой конуса и его осью О .

• Прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: их объём одинаков.

• Усечённый прямой круговой конус. Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Элементы конуса

Сечения конуса различными плоскостями

Пусть секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым . Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса , а его основанием является диаметр основания конуса .

Сечения конуса различными плоскостями

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенном на оси.

Эта фотография , автор: Неизвестный автор, лицензия: CC BY-SA

Эта фотография , автор: Неизвестный автор, лицензия: CC BY-SA

Развертка конуса

Усеченный конус

• Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.
• Определение

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса .

• Определение

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса .

• Определение

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса .

• Определение

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса .

Элементы усеченного конуса

Основные формулы

Для усеченного конуса

Для конуса

• Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса:

• Формула для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса:

S бок = 𝛑RL.

S бок. = π(r+R)L

• Площадь полной поверхности конуса:

• Площадь полной поверхности усеченного конуса:

S полн = 𝛑R(R+L).

S полн = π(rL+RL+r 2 +R 2 )

Решение задач

• Задача 1

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна m. Угол между образующими в сечении прямой, а наибольший угол между образующими конуса равен 120. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение задач

• Задача 2

Найдите радиусы основания усеченного конуса, если его боковая поверхность равна 208, образующая 13, а высота 5.

Источники информации

• Урок 7. конус - Геометрия - 11 класс - Российская электронная школа ;
• Конус — Википедия ;
• История изучения геометрического тела конус ;
• Презентация на тему "Конус" ;
• Б. Г. Зив. Геометрия: Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. Москва «Просвещение». 2014. 128 стр.

Миасский городской округ

МАОУ «Гимназия №19»

Конус

Выполнила:

Башкатова Ксения, ученица 11-Б класса

Проверила:

Копылова Светлана Викторовна, учитель математики