Координаты и векторы в пространстве

Координаты и векторы в пространстве

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве

Прямоугольной системой координат на плоскости, другими словами прямоугольной координатной плоскостью. Такую систему координат задают две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и величина единичного отрезка. Эти прямые называют осями абсцисс и ординат. Точку пересечения осей называют точкой начала координат.

Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают 𝑂𝑥𝑦.

Каждой точке плоскости сопоставляется только одна пара чисел, которые называют её координатами. Для определения координат, из точки нужно провести перпендикуляры к осям, тем самым мы и получим абсциссу и ординату точки.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называют осями координат, а их общая точка - началом координат. Как и на плоскости её обычно обозначают буквой 𝑂. Оси координат обозначают так: 𝑂𝑥,𝑂𝑦,𝑂𝑧 – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат и, новым является название третьей оси, ось аппликат.

Прямоугольную систему координат в пространстве обозначают: 𝑂𝑥𝑦𝑧.

Плоскости, проходящие соответственно через оси координат 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦, 𝑂𝑦 и 𝑂𝑧, 𝑂𝑧 и 𝑂𝑥, называют координатными плоскостями и обозначаются 𝑂𝑥𝑦, 𝑂𝑦𝑧,𝑂𝑧𝑥.

Точка 𝑂 разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называют положительными полуосями , а другой луч - отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке 𝑀 пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её к оординатами . Они определяются аналогично координатам точек плоскости. Проведем через точку 𝑀 три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через 𝑀1, 𝑀2 и 𝑀3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат.

Первая координата точки 𝑀 (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой 𝑥) определяется так: 𝑥 = 𝑂𝑀1, если 𝑀1 – точка положительной полуоси; 𝑥 = −𝑂𝑀1, если 𝑀1 – точка отрицательной полуоси; 𝑥 = 0, если 𝑀1 совпадает с точкой 𝑂. Аналогично с помощью точки 𝑀2 определяется вторая координата (ордината) 𝑦 точки 𝑀, а с помощью точки 𝑀3 – третья координата (аппликата) 𝑧 точки 𝑀. Координаты точки 𝑀 записывают в скобках после обозначения точки: 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧), причем первой указывают абсциссу, второй – ординату, третьей – аппликату.

Формула расстояния между двумя точками. Рассмотрим две произвольные точки: точку 𝑀1 с координатами (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 ) и точку 𝑀2 с координатами (𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 )

Часть 1. Теоретические задания

1. Дайте определения:

а) Прямоугольная система координат в пространстве —

б) Оси координат Ox,Oy,Oz —

в) Координатные плоскости —

а) Система из трёх попарно перпендикулярных осей с общим началом координат.

б) Взаимно перпендикулярные прямые, задающие направления координат в пространстве.

в) Плоскости, образованные парами координатных осей:

Oxy, Oyz, Ozx.

2. Ответьте на вопросы:

• Как называются координаты точки в пространстве?

Абсцисса — _____________, ордината — _____________, аппликата — _____________.

• Что называют положительной и отрицательной полуосью?
• Сколько координат имеет точка в пространстве?

Абсцисса — x,

Полуось, совпадающая с направлением оси, — положительная; противоположная — отрицательная.

Точка в пространстве имеет три координаты.

ордината — y,

аппликата — z.

Часть 2. Координаты точек

3. Запишите координаты точек:

а) Точка A лежит на оси Ox и удалена от начала координат на 4 единицы в положительном направлении.

A( ___ ; ___ ; ___ )

б) Точка B лежит на оси Oy и имеет координату y=−3y = -3y=−3.

B( ___ ; ___ ; ___ )

в) Точка C совпадает с началом координат.

C( ___ ; ___ ; ___ )

а) A(4; 0; 0)

б) B(0; −3; 0)

в) C(0; 0; 0)

Определите, где лежит точка:

а) M(0;5;0)

б) N(2;0;−1)

в) P(0;0;7)

а) На оси Oy

б) В плоскости Oxz

в) На оси Oz

Построение (аналитически)

5. Укажите координаты проекций точки M(−3;2;−1)M(-3; 2; -1)M(−3;2;−1) на оси координат:

На ось OxOxOx: ____________________

На ось OyOyOy: ____________________

На ось OzOzOz: ____________________

Проекция на OxOxOx: (−3; 0; 0)

Проекция на OyOyOy: (0; 2; 0)

Проекция на OzOzOz: (0; 0; −1)

0, z б) Может ли точка лежать одновременно на двух координатных плоскостях? Приведите пример. а) Да, такая точка существует. б) Да. Например, точка (0; 0; 5) лежит на плоскостях Oxz и Oyz " width="640"

Анализ координат

6. Ответьте на вопросы:

а) Может ли точка иметь координаты

x = 0, y 0, z

б) Может ли точка лежать одновременно на двух координатных плоскостях? Приведите пример.

а) Да, такая точка существует.

б) Да. Например, точка (0; 0; 5) лежит на плоскостях Oxz и Oyz

Расстояние между точками

7. Найдите расстояние между точками:

а) M1(1;2;3) и M2(4;6;3)

б) A(0;0;0) и и B (2;-1;2)

Запишите формулу расстояния между точками

M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2)