Координаты и векторы в пространстве

Координаты и векторы в пространстве

Выполнил: студент

Маркелов Дмитрий,

ГАУ КО ПОО КСТ

  Прямоугольная система координат в пространстве

образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей.

OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Соответствующие координатные плоскости: XY, YZ и XZ. Прямоугольную систему координат называют декартовой .

Z

1

О

Y

1

1

X

1

Система координат в пространстве

Z

D

A

Y

c

C

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB,

координата y -длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно

o

a

B

b

X

Z

Y

X

3 основных оси

Координата x называется абсциссой точкиA, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Символически это записывают так:

A(x; y; z) или A(x A ; y A ; z A )

1

Расстояния от точки до координатных осей и координатных плоскостей .

1) Расстояние от точки А(x; y; z) до координатных плоскостей: От А до плоскости ху = координате z. От А до плоскости хz = координате у. От А до плоскости уz = координате х.

2) Расстояние от точки А(x; y; z) до координатных плоскостей: От А до координатной оси х = √у2 + z2 От А до координатной оси у = √х2 + z2 От А до координатной оси z = √х2 + у2

Для векторов

Справедливы следующие свойства:

1)Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат:

2) Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат:

3) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число:

4) Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

1

Длина вектора вычисляется по формуле:

Расстояние  d   между двумя точками  с координатами:

Вычисляется по формуле: 

Рассмотрим отрезок AB в прямоугольной системе координат, такой, что 

Координаты середины отрезка

определяются по формулам:

1

Координаты точки M: делящий отрезок в заданном отношении (см рис) определяются по формулам:

1