Координаты вектора. 9 класс

Координаты вектора

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Определим понятие координат вектора. Для этого отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора .

Обозначим векторы с координатами (1, 0), (0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем рисовать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Теорема

Теорема. Вектор имеет координаты ( x , y ) тогда и только тогда, когда он представим в виде

Доказательство. Отложим вектор от начала координат, и его конец обозначим через А . Имеет место равенство Точка А имеет координаты ( x , y ) тогда и только тогда, когда выполняются равенства и, значит,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

2

Пример

Найди те координаты и длину вектора , если точки А 1 , А 2 имеют координаты ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение: В ектор имеет координаты ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ). Его длина равна длине отрезка А 1 А 2 . Используя формулу длины отрезка, получаем

3

Упражнение 1

На йдите координаты векторов , изображенных на рисунке.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: ( 4 , 1 );

( 3 , -2 );

( -1 , 4 );

( 2 , 2 ).

Упражнение 2

Назовите координаты векторов:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) (–2, 6);

б) (1, 3);

в) (0, -3);

г) (-5, 0).

Упражнение 3

Найдите координаты вектора , если точки A 1 , A 2 имеют координаты (-3, 5), (2, 3) соответственно.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: (5, -2).

Упражнение 4

Выразите длину вектора через его координаты ( x , y ).

Ответ:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

7

Упражнение 5

Найдите координаты точки N , если вектор имеет координаты (4, -3) и точка M – (1, -3).

Ответ: (5, -6).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 6

Найдите координаты вектора , если: а) A (2, -6), B (-5, 3); б) A (1, 3), B (6, -5); в) A (-3, 1), B (5, 1).

Ответ: а) (-7, 9);

б) (5, -8);

в) (8, 0).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 7

Вектор имеет координаты ( a , b ). Найдите координаты вектора .

Ответ: (- a , - b ).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 8

Даны три точки А (1, 1), В (-1, 0), С (0, 1). Найдите такую точку D ( x , y ), чтобы векторы и были равны.

Ответ: (-2, 0).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 9

Найдите координаты векторов и , если (1, 0), (0, 3).

Ответ: (1, 3) и (1, -3).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 10

Даны векторы (-1, 2) и (2, -4). Найдите координаты вектора:

а)

б)

в)

Ответ: а) (1, -2);

б) (-1, 2);

в) (11, -22).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1 1

Вершины треугольника имеют координаты A (1, 3 ), B (2, 1) и C (3, 4). Найдите координаты точки M пересечения медиан.

Решение:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Следовательно, имеет координаты

Точка M имеет координаты

14