Красота математики

М

А

А

Т

И

К

А

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

(Н.Е. Жуковский)

Т

М

Е

Цели мероприятия

• Познание математических закономерностей в мире;
• определение значения математики в мировой культуре ;
• «Золотое Сечение» как гармония окружающего мира;
• Математика в астрономии, метеорологии, геологии, химии

Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.

Это не только стройная система законов, но и уникальное средство познания красоты.

«Математика есть прообраз красоты мира»

(В.Гейзенберг)

Люди придумали цифры и действия с ними, а потом в них же открыли множество законов, правил и теорем

В жизни цифр, линий, углов и бесконечно малых величин можно увидеть много красивого – изящные теоремы, тела, поверхности, даже условия задач

Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею

С древних времён человечеству  известны «фокусы» с числами, из которых по некоторому фиксированному правилу строят числовые пирамиды.

Математическая пирамида №1

1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 9 8 123 x 8 + 3 = 9 8 7 1234 x 8 + 4 = 9 8 7 6 12345 x 8 + 5 = 9 8 7 65 5 123456 x 8 + 6 = 9 8 7 65 4 1234567 x 8 + 7 = 9 8 7 65 4 3 12345678 x 8 + 8 = 9 8 7 65 4 32 2 123456789 x 8 + 9 = 9 8 7 65 4 32 1

Какие вычисления будут выполнены в следующей строке и в последующих?

Математика - это красота и чудо в чистом виде.

Пирамида Хеопса

1*8+1=9

12*8+2=98

123*8+3=987

1234*8+4=9876

12345*8+5=98765

123456*8+6=987654

1234567*8+7=9876543

12345678*8+8=98765432

123456789*8+9=987654321

Математическая пирамида №2

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10= 1111111111

Какие вычисления будут выполнены в следующей строке и в последующих?

Математика - это единственная наука, которая имеет дело с абсолютным идеалом.

Пирамида Хефрена

1*9+2=11

12*9+3=111

123*9+4=1111

1234*9+5=11111

12345*9+6=111111

123456*9+7=1111111

1234567*9+8=11111111

12345678*9+9=111111111

Математическая пирамида №3

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

Какие вычисления будут выполнены в следующей строке и в последующих?

Замечательно! Не правда ли?

Пирамида Хуфу

9*9+7=88

98*9+6=888

987*9+5=8888

9876*9+4=88888

98765*9+3=888888

987654*9+2=8888888

9876543*9+1=88888888

98765432*9+0=888888888

Математическая пирамида №4

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 1 2 3 2 1 1111 x 1111 = 1 23 4 32 1 11111 x 11111 = 1 234 5 432 1 111111 x 111111 = 1 2345 6 5432 1 1111111 x 1111111 = 1 23456 7 65432 1 11111111 x 11111111 = 1 234567 8 765432 1 111111111 x 111111111 = 1 2345678 9 8765432 1

Какие вычисления будут выполнены в следующей строке и в последующих?

Математика в своей сущности достаточно таинственна и романтична.

Это интересно

• Возьмем число 142857 .

• Удвоим его.
• Удвоим его.
• Удвоим его.
• Удвоим его.
• Удвоим его.

Получилось 285714 .

Внимательно вглядываемся —

числа те же, только в другом порядке!

б) Интересно, а если утроить? Учетверить?

Получаем последовательно:

428571, 571428, 714285, 857142.

Наша закономерность продолжает выполняться .

Цифры просто переставляются местами.

Красиво.!

Поверхности второго порядка. Загадочная красота.

эллипсоид

гиперболический параболоид

эллиптический параболоид

двуполостный гиперболоид

МАТЕМАТИКА В АСТРОНОМИИ

МАТЕМАТИКА В МЕТЕОРОЛОГИИ

МАТЕМАТИКА В ГЕОЛОГИИ

МАТЕМАТИКА В ХИМИИ

МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИИ

Симметрия - закономерное расположение элементов формы относительно плоскости, оси или точки.

Человек давно осмыслил симметрию в творениях природы и стал использовать се как средство организации искусственных форм.

В Древней Греции слово "симметрия" было синонимом красоты, гармонии формы.

«...быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным» (Платон )

Тадж-Махал — мавзолей-мечеть, находящийся в Агре, Индия, на берегу реки Ямуна. Усыпальница имеет центральную симметрию относительно гробницы Мумтаз-Махал. Единственным нарушением этой симметрии является гробница Шах-Джахана, которую там соорудили после его смерти.

Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости, спокойствия и равновесия.

Зеркальная симметрия

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. В некоторых источниках такую симметрию называют зеркальной. А зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта.

Симметрия в природе

Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных.

Симметрия в природе

Рассматривая расположение листьев на ветке дерева, видим, что один лист не только отстоит от другого , но и повёрнут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии (принцип винтовой симметрии). Семена подсолнечника располагаются по спиралям, опять же по принципу симметрии.

Красота растений привлекала внимание математиков веками. Активнее всего изучались интересные геометрические свойства растений, такие как симметрия листьев относительно центральной оси, радиальная симметрия цветов, и спиральное расположение семечек в шишках. Красота связана с симметрией.

Симметрия в неживой природе

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой – творение мороза!

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений.

Аристид Линденмайер

В 1968г. Венгерский биолог и ботаник Аристид Линденмайер (Aristid Lindenmayer) предложил математическую модель для изучения развития простых многоклеточных организмов, которая позже была расширена и используется для моделирования сложных ветвящихся структур — разнообразных деревьев и цветов.

Rewriting

Rewriting — это способ получения сложных объектов путем замены частей простого начального объекта по некоторым правилам. Классическим примером является снежинка. На рисунке initiator — это начальный объект, грани которого заменяются на generator. Далее с новым объектом проделывается то же самое.

Замощение Пенроуза

Его красота в непериодичности. Любой сколь угодно большой фрагмент узора повторяется бесконечное число раз, однако, нет таких двух точек где узор наложился бы сам на себя полностью (как не крути).

Дерево Пифагора

Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево.

Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891—1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

Обнаженное дерево Пифагора

Классическое дерево Пифагора

Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные "центры" треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.

Обдуваемое ветром дерево Пифагора

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора.

Красота есть истина, а истина — красота.

Джон Китс

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке.

Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

"Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

Галерея изображений фракталов

Они кажутся более живыми и красивыми, чем многие рисунки, несмотря на то, что являются результатом работы программы.

Математическая музыка

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пифагор говорил своим ученикам, что числа правят миром.

Математика и музыка - два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Дроби широко используются в музыке для обозначения длительностей нот.

Золотое сечение

Средневековая математика подарила нам понятие о "золотом сечении" и последовательности Фибоначчи.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Эта последовательность имеет следующий вид: 1,1,2,3,5,8,13,21,...

То есть каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. При этом в пределе деление каждого числа на предыдущее даёт приблизительно 1,618 - это число и определяет "золотое сечение".

Золотое сечение

" Золотое сечение" в конструкции Парфенона, Афины, Греция

Собор "Нотредам де Пари" в Париже, Франция

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Пирамида Хеопса, Египет

Золотая пропорция в архитектуре

Голицынская (1-я городская) больница в Москве. 1796—1801. Архитектор М. Ф. Казаков.

Василия Блаженного Храм в Москве.

Пропорции Фибоначчи в природе

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".

Синусоида

Кардиоида

Логарифмическая спираль

Прямые углы и треугольники в лесу и на лугу

Величины отростков и лепестков цикория подчинены правилу золотой пропорции.

Золотое сечение лист розы

Золотая пропорция в теле ящерицы – длина хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

• У многих бабочек узоры на крыльях, соотношение размеров грудной и брюшной части тела соответствуют золотой пропорции

• Отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

• Прозрачные крылья стрекоз - это шедевр "инженерного" мастерства природы.

Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Золотое сечение в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя.

Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно.

• Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям , завивающимся навстречу друг другу , причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Рога и бивни животных развиваются в форме спирали. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Математическая эстетика Цейзинга

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

Золотая пропорция тела человека

Результаты измерений учащихся

№

ФИО

1

Рост

2

Альмуханов Арман

Альмуханов Сангалий

169

Длина от талии до пола

3

104

Воробьев Сергей

Отношение

173

4

Акинина Настя

5

178

108

1,62

1,616

168

Басирова Айжан

110

6

Дунаев Ербулат

1,618

104

157

7

Гамаюнов Юра

8

178

95

1,615

110

Чупахин Саша

165

9

1,635

Холопов Андрей

1,618

170

98

105

1,617

179

1,619

111

1,612

• Вывод: Пропорции тела близки к показателю золотого сечения

• Соотношение воды и суши на планете Земля составляет 62% и 38%.

• У Земли отношение радиусов равно числу золотого сечения в первой степени

Золотое сечение

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

Золотое сечение в живописи

Золотое сечение

Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и тела в целом.

Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры…

В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очертанных идеях, где на виду всякая деталь умозаключения, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее. (Н.Е. Жуковский )

.

Спасибо за внимание!

Использованные ресурсы:

http://mcs.open.ac.uk/ugg2/jpg/med_RS_0065.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

http://habrahabr.ru/blogs/biotech/69989

http://ru.wikipedia.org/wiki/ Фрактал

http://fractals.narod.ru/intro.htm

http://www.wack.ch/frac/gallery.html

http://www.ug.ru/issue/?action=topic&toid=8652

http://www.mathematics.ru/

«Математика и искусство», А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000г.

«Математическое путешествие в мир гармонии», Е.С.Смирнова, Н.А. Леонидова, журнал «Математика в школе» № 3, 1993г.

Презентация учителя физики и информатики Александрова З.В.,

МОУ СОШ №5 п.Печенга, Мурманская обл., 2010 г