Криптография в математике

Проектная работа КРИПТОГРАФИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Автор: Метляев Глеб 9А класс

Руководитель: Моисеева Елена Викторовна, учитель математики

Введение

Актуальность темы: Информация — один из самых ценных ресурсов XXI века. Криптография, как наука о защите информации, играет важнейшую роль в обеспечении безопасности личных переписок, банковских операций и даже государственной тайны.

Цель исследования — исследовать различные способы шифрования и понять их математическую и логическую основу.

Задачи исследования:

1. Изучить историю криптографии;

2. Познакомиться с разными видами шифров;

3. Рассмотреть способы шифрования с применением математики;

4. Осуществить шифровку и дешифровку текста

Объектом исследования является система методов и алгоритмов, предназначенных для защиты информации.

Предметом исследования выступают криптографические шифры как средства преобразования информации с целью обеспечения её конфиденциальности.

Определения

Криптография — это наука о методах защиты информации с помощью математических алгоритмов и ключей

Шифр — это алгоритм преобразования текста, используемый для его защиты. Он преобразует исходный текст в зашифрованный, используя для этого секретный ключ.

Ключ — это последовательность данных, которая используется в шифре для его выполнения.

Первые шифры

Самые первые и легкие шифры — шифры перестановки.

Например шифр Цезаря — каждая буква алфавита сдвигалась на несколько позиций в алфавите

Еще один интереснейший пример — шифр Атбаш , состоит в замене i -й буквы алфавита буквой с номером n-i+1 где n — число букв в алфавите, так буква "А" будет зашифрована как "Я", а буква "Б" — как "Ю".

Гай Юлий Цезарь

Криптография в Средние века

В Средние века криптография начала развиваться, и были сделаны важные шаги в сторону более сложных методов защиты информации. Например, арабский математик Аль-Кинди создал первый криптоаналитический метод, основанный на анализе частотности букв в тексте. В своем труде "Манускрипт для расшифровки криптографических сообщений" он описал методы взлома шифров, с использованием статистического анализа.

Арабский математик Аль-Кинди

В Европе в это время часто использовались простые шифры подстановки, такие как шифр Виженера , который был предложен Леон Батистой Альберти . В этом шифре использовалась таблица алфавитов, и каждое сообщение шифровалось с помощью ключевого слова

ж

Таблица Виженера для русского языка

Пример шифрования

К исходному слову «Виженер» выбран ключ «Цезарь» . Ключ короче исходного слова, поэтому его нужно повторять, пока количество букв не сравняется — «ЦезарьЦезарь…» — в примере достаточно добавить «Ц» . Слово шифруется по принципу: буква ключа — строка в таблице, буква исходного слова — столбец. Шифробуква находится на их пересечении

Великий шифр Россиньолей

Французский криптограф Антуан Россиньоль и его сын изобрели шифр, который использовал 587 различных чисел, большая часть из которых обозначала слоги. Это был очень надежный шифр, который не могли взломать столетиями. Некоторые числа в шифре — ловушки , которые ничего не заменяют. Ловушки понадобились, чтобы бороться с ч астотным анализом.

Шифр взломал эксперт шифровального отдела французской армии Этьен Базери . Он заметил часто повторяющуюся последовательность чисел 124-22-125-46-345 и предположил, что она означает «les-en-ne-mi-s» или «les ennemis» (враги). Отталкиваясь от этой информации, он смог распутать весь шифр

Одна из номенклатур для расшифровки великого шифра Россиньолей

Вклад советской криптографии в Победу

Во время Великой Отечественной Войны нашим бойцам приходилось заниматься криптоанализом (расшифровкой вражеских сообщений) и созданием своих шифровальных технологий

Во время войны предпринималось много попыток расшифровать сообщения "Энигмы", но для успешной дешифровки нужно было захватить саму машину, которую немецкие войска тщательно охраняли, но в 1944 году силами разведчиков Балтийского флота удалось под обстрелом поднять военную "Энигму" с борта потопленной в Выборгском заливе немецкой субмарины Свои наработки по криптоанализу и саму машину они передали для изучения союзным войскам Великобритании

Немецкая шифровальная машина “Энигма”

К началу Великой Отечественной войны советские инженеры создали шифровальную машину К-37 "Кристалл ". Одним из инженеров-создателей К-37 был выдающийся военный инженер Валентин Николаевич Рытов

В 1942-м Гитлер издал приказ по вермахту, в котором пообещал железный крест тому, кто захватит шифровальную машину или возьмет в плен советского шифровальщика. Дополнительно немецким разведчикам было обещано поместье в Крыму после победы.

Захватить эту советскую шифровальную машину немецким войскам так и не удалось.

Советская шифровальная машина К-37 "Кристалл"

Заключение

Криптография — это наука и искусство защиты информации, прошедшая путь от простых шифров до сложных математических алгоритмов.

Она тесно связана с такими разделами математики, как теория чисел и арифметика по модулю.

Сегодня криптография используется для защиты данных в Интернете, финансовых операций и личной переписки. Её значение в цифровую эпоху трудно переоценить.

Изучение криптографии развивает логическое и математическое мышление, делая её важной не только для безопасности, но и для образования.

Спасибо за внимание