Курс " Рациональные уравнения"

Программа дополнительного курса

«Рациональные уравнения»

для физико-математического профиля

I.Пояснительная записка.

Программа разработана для 10 классов физико-математического профиля. Дополнительный курс посвящен одной из самых важных тем математики: «Рациональные уравнения и способы их решения».

В условиях профилизации и модернизации школы появилась необходимость повышения качества школьного образования и создание специализированной подготовки, ориентированной на индивидуализацию и специализацию учащихся.

Программа состоит из двух частей:

1. целые алгебраические уравнения;

2. дробно-рациональные уравнения.

Тема уравнения рассматривается на протяжении всего курса алгебры 7-9 классов небольшими кусками, и только некоторые способы их решения. Данный курс систематизирует и обобщает знания по теме, углубляет и расширяет их. Также рассматриваются различные способы решения уравнений. Настоящая программа предусматривает полное развитие целостной математической составляющей в обучении алгебры, предоставляет возможности учащимся свободного выбора своего образовательного пути.

Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Эта программа будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека.

Данный материал поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения, а также поможет готовиться к ЕНТ. В курс заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования упражнений различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельного освоения нового материала.

Цель курса:

• прочное сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением рациональных уравнений, приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;

• способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса:

1. Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;

2. Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;

3. Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;

4. Развитие навыков исследовательской деятельности, повышение математической культуры учащегося.

Используемые технологии:

• лекционно-семинарская система обучения;

• модульное обучение;

• исследовательский метод в обучении;

• индивидуальные формы работы;

• дифференцированное обучение.

Решение индивидуальных заданий на разных уровнях усвоения: применения способа решения по образцу; с последующей проверкой по эталону; применение самостоятельно выбранного способа решения; самооценка учащимися своей деятельности на занятии (рефлексия).

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны знать

что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения;

уметь

решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

II. Тематическое планирование курса.

№	содержание	Количество часов
1-2	Уравнение, корень уравнения, равносильность уравнений. Потерянные и постоянные корни. Целое алгебраическое уравнение.	2
3-6	Решение уравнений разложением на множители: способ группировки; выделение полного квадрата; применение формул сокращенного умножения. Проверочная работа.	4
7-10	Подбор корня уравнения по свободному члену и старшему коэффициенту. Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу.	4
11-14	Решение уравнение методом неопределенных коэффициентов. Схема Горнера. Тест	4
15-18	Метод выделения новой переменной. Понижение степени.	4
19-22	Однородные уравнения. Возвратные уравнения четвертой степени.	4
23-24	Неприведенные уравнения и способы их решения.	2
25-28	Дробно-рациональные уравнения, решение их способом подстановки.	4
29-32	Нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений.	4
33-34	Итоговая контрольная работа.	2

III. Содержание занятий.

Занятие № 1, 2

Рассмотреть определение целого уравнения, корня уравнения, определение равносильных уравнений, теоремы, с помощью которых переходим к равносильным уравнениям, примеры, когда при переходе от одного уравнения к другому теряется корень или появляется посторонний корень.

Занятие № 3, 4, 5, 6

Изучить способы решения уравнений разложением на множители.

1. Способ группировки.

2. Способ выделения полного квадрата.

Например, в уравнении

x³ - (a + b + c)x² + (ab + ac + bc)x – abc = 0;

x³ - ax² - bx² - cx² + abx + acx + bcx - abc = 0;

x²(x - a) - bx(x - a) -cx(x - a) + bc(x - a) = 0;

(x - a)( x² - bx - cx + bc) = 0; (x - a)(x(x - b) - c(x - b)) = 0;

(x - a)(x - b)(x - c) = 0; х – a = 0 или x – b = 0 или x – c = 0; х = a, x = b, x = c.

Занятие № 7, 8, 9, 10

1. Если уравнение

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +…+ a_n-1x + a_n = 0 (1) с целыми коэффициентами имеет

целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

1. Если уравнение (1) с целыми коэффициентами имеет рациональные корни вида , тогда число p является делителем свободного члена a_n, а q – делителем старшего коэффициента a₀.

2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами a₀ =1, то все рациональные корни – целые, если они существуют.

Рассмотреть деление многочлена на многочлен, чтобы понизить степень многочлена, а также Теорема Безу

Остаток от деления многочлена

P(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +…+ a_n-1x + a_n

на двучлен x - a равен P(a), тогда

P(x)=(a - x)P₁(x), если P(x) делится на x - a без остатка и

P(x)=(a - x)P₁(x) + R(x), где R(x) – остаток.

Занятие № 11, 12, 13, 14

Рассмотреть решение уравнений методом неопределенных коэффициентов.

Например, x⁴ - 6x³ + 6x² + 10x – 3 = 0

Уравнение приведенное, рассмотрим делители свободного члена -3 делится на ±1; ±3

х = -1 и х = 3

корни уравнения представим в виде (х + 1)(х - 3)(x² + px + q) = 0

(x² - 2x - 3)(x² + px + q)=x⁴ - 6x³ + 6x² +10x - 3

x⁴ + (p-2)x³ + (q - 2p - 3)x² - (2q + 3p)x - 3q= x⁴ - 6x³ + 6x² + 10x - 3

p – 2 = - 6 p = - 4

-3q = -3 q = 1

(x + 1)(x - 3)(x² - 4x + 1) = 0; x² - 4x + 1 = 0; D

Рассмотреть схему Горнера

Если многочлен

P(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +…+ a_n-1x + a_n

При делении на х - а, дает Q(x) неполное частное и R- остаток, то коэффициент Q(x) можно найти по схеме

a0	a1	a2	…	an-1	an
b0 = a0	b1 = a1 + ab0	b2 = a2 + ab1	…	bn-1 = an-1+abn-2	bn= an+ abn-1 bn=R

Q(x) = b₀x^n-1 + b₁x^n-2 +…+ b_n-1x + b_n

Занятие № 15, 16, 17, 18

Рассмотреть метод введения новой переменной.

1. ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0, t = xⁿ

2. Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m

Если a + b = c + d или a + c = b + d или a + d = b + c, то решаем раскрытие скобок, где выполняется равенство, затем вводим переменную, получаем квадратное уравнение.

Например,

(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; - 4 – 7 = - 5 – 6;

(x - 4)(x - 7) (x - 5)(x - 6) = 1680;

(x² - 11x + 28)(x² - 11x + 30) = 1680; x² - 11x + 28 = t.

Далее решаем уравнение вида t(t + 2) = 1680.

1. Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx²

Если ab = cd или ac = bd или ad = bc, то раскрываем скобки, где выполняется равенство, а затем делим на x² ≠ 0 и вводим переменную и получаем квадратное уравнение.

(x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x²; (-8)(-1) = (-2)(-4);

(x - 1)(x - 8)(x - 2)(x - 4) = 4x²;

(x² - 9x + 8)(x² - 6x + 8) = 4x² ∕x²; (x – 9 + )(x – 6 + ) = 4;

х + - 9 = t; t(t + 3) = 4; t² + 3t – 4 = 0; t₁ = 1; t₂ = - 4.

х + - 9 = 1; x + - 10 = 0; x² - 10x + 8 = 0;

x₁ = 5 + ; x₂ = 5 - ; x + - 9 = -4; x + - 5 = 0;

x² -5x + 8 = 0 корней нет.

Занятие № 19, 20, 21, 22

Возвратным уравнением четвертой степени называется уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0, a ≠ 0, если k = 1, то уравнение имеет вид

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, такое уравнение называется симметрическим.

3x⁴ - 5x³ - 30x² - 10x + 12 = 0∕ x², т.к. x = 0 не корень

3x² - 5x – 30 - + = 0; 3(x² + ) -5(x + ) -30 = 0; х + = t.

Возведем в квадрат.

x² + 2x + = t²; x² + = t² – 4; 3(t² - 4) - 5t – 30 = 0; 3t² - 5t – 42 = 0.

D = 25 + 504, t₁ = ; t₂ = - 3; x + = ; x + = - 3.

x_1,2 = x₁ = -1, x₂ = -2

Уравнение вида au² + bu + c ² = 0 называется однородным, где a,b,c – числа, a u и некоторые функции от х.

Разделим обе части уравнения на ² ≠ 0

a( )² + b( ) + c = 0; ( ) = t = at² + bt + c = 0.

Получили квадратное уравнение.

Занятие № 23, 24

Некоторые способы решения неприведенных уравнений.

Уравнение вида: 21x³ + x² - 5x – 1 = 0/ x³; 21 + - - = 0;

= t; 21 + t- 5t² - t³ = ; t³ + 5t² – t – 21 = 0.

Далее найдем корни среди делителей свободного члена.

t = - 3; (t + 3)(t² + 2t - 7) = 0; t² + 2t – 7 = 0; t_1,2 = - 1 2

= - 3; х = - ; = - 1+ 2 ; х = ; = -1 - 2 ; х = .

4x³ - 10x² + 14x – 5 = 0/*2; 8x³ - 20x² + 28x – 10 = 0;

(2x)³ - 5(2x)² + 14(2x) – 10 = 0; 2x = t; t³ - 5t² + 14t – 10 = 0;

t = 1; 2x=1; x= .

Решая эти уравнения, выполняем такое преобразование, чтобы уравнения стали приведенными.

Занятие № 25, 26, 27, 28

Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде =0, где P(x) и Q(x) – многочлены.

У равнение =0 равносильно системе

P(x)=0

Q(x)≠0

Решение уравнений способом подстановки.

Рассмотрим уравнения вида:

1. + =2,9; t = ;

2. + = ; t=x²-3x+3;

3. x³+ =3 (x+ ); t= x+ ;

4. =1,2/ x²; = ; x + = t;

5. + = ; x²+2x+2=t; + = .

Занятие № 29, 30, 31, 32

Нестандартные способы решения уравнений.

1. Уравнения, решаемые выделением квадрата двучлена, например,

х²+ =8.

2. Уравнения, решаемые как однородное

AU²(x)+BU(x) (x)+C ²(x)=0 / ²(x)≠0 ; А( )²+B( )+C=0;

Введем переменную =t, получим At²+Bt+C=0,

далее решаем квадратное уравнение.

3. Решение уравнений, выделением целой части дробей, например,

- = -

Целую часть можно выделить делением числителя на знаменатель, т.е.

многочлена на многочлен или в числителе выделить квадрат двучлена, а затем

выделить целую часть.

4. Решение уравнений вида

(x-a)⁴+(x+b)⁴=c, заменим х = t-

получим после упрощения биквадратное уравнение.

Занятие № 29, 30

Нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений.

Цель урока: формирование практических навыков и умений при решении дробно-рациональных уравнений; развитие логического и творческого мышления; воспитание умения выбрать оптимальные способы решения, умение работать в коллективе.

На занятии использована методика взаимообмена заданиями (модульное обучение).

1. Подготовка учебного материала.

1.1. Блок дидактических карточек по изучаемому материалу, в

блоке 10 карточек по две одинаковые.

Карточка состоит из двух частей:

• Задание по самостоятельному изучению нового материала, выделяются те моменты, на которые надо обратить внимание.

• Задание (уравнение), которые надо выполнять самостоятельно.

1.2. Листок учителя, планирование и содержание карточек по способам

решения уравнений.

1.3. Листок самооценки в каждой группе.

2. Организация работы группы учеников.

Все учащиеся разбиваются на группы по 4-5 человек, всего 5 групп.

В каждой группе назначается ответственный за работу. Если группа самостоятельно не справляется, то задает вопросы учителю. Освоив задание карточки №1, группа переходит к решению карточки №2 и т.д.Маршрут для каждой группы расписан учителем.

3. Учет.

Те уравнения, которые учащиеся решают самостоятельно, должны

быть записаны в тетрадь.

4. Контроль.

4.1. Самооценка за каздую карточку (их 5).

4.2. Самостоятельная работа по выбору: предложены уравнения,

ученики решают любые два.

Самостоятельная работа

1 вариант

1. х²+ =40; 2. - = ; 3. + - - =-

4. (x-3)⁴+(x+1)⁴=256; 5. x³+ =8 (x+ ).

2 вариант

1. х²+ =5; 2. ( )²-57( )²=

3. + = + ; 4. (х+3)⁴+(х+5)⁴=16; 5. х³ - =5 (х - ).

Карточка № 1

Уравнения, решаемые выделением квадрата двучлена.

ОДЗ х≠0

х²+ =8

Прибавим 2х к обеим частям уравнения

х²+2х + = 8+2х ; (х + )² = 8+ 2 ;

( )²-2 -8=0; =t; t²-2t-8=0; t₁=4; t₂=-2;

=4; x²-4x+4=0; (x-2)²=0; x-2=0; x=2.

=-2; x²+2x-2=0; x₁=-1+ ; x₂=-1- .

Ответ: 2; -1+ ; -1- .

Решите уравнение самостоятельно х²+ =27.

Карточка № 2

Уравнения, решаемые как однородное.

AU²(x)+BU(x) (x)+C ²(x)=0 / ²(x)≠0

А( )²+B( )+C=0;

Далее введем переменную =t, получим At²+Bt+C=0,

далее решаем квадратное уравнение.

Пример.

( )²+( )²= . ОДЗ: х≠±2

Перепишем уравнение так:

( )²- +( )²=0/ ( )²≠0

( )²- +1=0; =t; t²- t+1=0;

2t²-5t+2=0; t₁=2; t₂= =2; x²-x-2=2(x²+x-2); x²+3x-2=0;

x₁= ; x₂= = ; 2(x²-x-2)= x²+x-2; x²-3x-2=0;

x₁= ; x₂= .

Ответ: ; ; ; .

Решите уравнение самостоятельно: 3( )²+8( )²=

Карточка № 3

Решение уравнений, выделением целой части.

ОДЗ х≠-1; х≠-3; х≠-2;х≠-4.

- = -

Выделив в числителе квадрат двучлена, можно разделить числитель на

знаменатель.

- = - ;

х+1+ -(х+2)- =х+3+ -(х+4)- ;

Упростим:

- = - ; = ; х(х -х(х =0;

х(х -х =0; х(4х+10)=0; х=0 или х=-2,5

Ответ: 0; -2,5.

Решите уравнение самостоятельно:

+ = +

Карточка № 4

Решение уравнений вида (x-a)⁴+(x+b)⁴=c, заменим x=t- ,

получим биквадратное уравнение (х-4,5)⁴+(х-5,5)⁴=1.

х=t - ; x=t+5; (t+ )⁴+(t- )⁴=1; (t²+t+ )²+(t²-t+ )²=1;

Воспользуемся формулой

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc;

t⁴+t²+ +2t³+ t²+ t+t⁴+ t²+ -2t³+ t²- t=1;

2t⁴+3t³- =0/8; 16t⁴+24t²-7=0; t²=a; a ≥ 016a²+24a-7=0; D=256.

a₁= ; a₂=- не удовлетворяет условие a≥0; t²= = t=±

Если t= , то х= +5; х=5,5 t=- , то х=- +5; х=4,5

Ответ: 5,5 ; 4,5.

Решите уравнение самостоятельно: (х- )⁴+(х+ )⁴=82

Карточка № 5

Решите уравнение х³+ =13(х+ ); ОДЗ х≠0. Введем переменную х+ =t;

По формуле (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b) возведем в куб

(х+ )³=t³; x³+ +3x ( х+ )=t³; x³+ +3t= t³= x³+ =t³-3t;

Получим

t³-3t-13t=0; t³-16t=0; t(t²-16)=0; t(t-4)(t+4)=0; t₁=0 или t₂=4 или t₃=-4

х+ =0 корней нет х+ =4; х²-4х+1=0; х₁=2+ ; х₂=2- .

х+ =-4; х²+4х+1=0; х₁=-2+ ; х₂=-2- .

Ответ: 2+ ; 2- ; -2+ ; -2- .

Решите уравнение самостоятельно: х³ - = 2(х - )

Контрольная работа (на 2 урока).

Цель работы: проверить знания и умения по теме «Рациональные уравнения».

1 вариант

1. Решите уравнение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=3.

2. Решите возвратное уравнение х⁴+х³+4х²+5х+25=0.

3. Произведя замену переменной, решите уравнение

= .

4. Используя однородность, решите уравнение

(х²-5х-4)²-3(х³-5х²-4х)+2х²=0.

5. Найдите все целые корни уравнения х⁵+5х⁴-9х³+41х²+32х-60=0.

2 вариант

1. Решите уравнение (х-2)(х-4)(х-6)(х-8)=105.

2. Решите возвратное уравнение х⁴-х³-10х²+2х+4=0.

3. Произведя замену переменной, решите уравнение

+ =1.

4. Используя однородность, решите уравнение

(х²+3х-2)²-2(х³+3х²-2х)-3х²=0.

5. Найдите все целые корни уравнения х⁵-4х⁴-18х³+40х²+113х+60=0.

Уравнения, которые встречаются на ЕНТ.

1. Если х₀ - корень уравнения х³+3х²+х-5=0, то равно. Ответ: 3.

2. х₀ - корень уравнения 8х³ + 36х² + 54 х = 98, то равно. Ответ: 1.

3. Произведение корней уравнения х⁴ + х³ – 1 = 0 равно. Ответ:

4. Сумма корней уравнения + + = равна. Ответ: 3,6

5. Среднее арифметическое корней уравнения (х² - 2х)² - (х - 1)² + 1 = 0 равно.

Ответ: 1.

6. Сумма различных корней уравнения х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 0,5625 равна.

Ответ: -13,5.

1. Произведение корней уравнения 18х⁴ - 3х³ - 25х² + 2х + 8 = 0 равно. Ответ: - .

2. Сумма корней уравнения (х² + 27)² - 5(х² + 27)(х² + 3) + 6(х² + 3)² = 0, умноженная на 59 равна. Ответ: 0

3. Модуль разности корней уравнения - = равен. Ответ: 4.

10. Сколько корней имеет уравнение + =1. Ответ: 2.

11. Среднее арифметическое корней уравнения

5( )² - 44( )² + 12 = 0 равно. Ответ: -4,5

1. Если х₁ – меньший, а х₂ – больший корень уравнения

= , то равно. Ответ: 2.

1. Произведение корней уравнения + - - = - равно.

Ответ: 4

1. Если х₀ – корень уравнения 3х³ - 4х² + 5х – 18 = 0, то значение равно. Ответ: 5.

2. Определить количество корней уравнения = 1. Ответ: 1.

Литература

1. Национальный центр тестирования. Учебно- методическое пособие.

2. М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение. 1990г.

3. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник – практикум по алгебре. М.: ШколаПресс.1995г.

4. Д.Письменный Готовимся к экзамену по математике. М.: Айрис Пресс Рольф. 2001г.

5. М.И.Сканави Сборник задач по математике под редакцией М.И. Сканави. М.: Высшая школа. 1998г.

6. Ю.Н. Макарычев, Н.Г., Миндюк, К.И.Нешков. Адгебра – 9, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина. 2006г.

7. С.В. Процко, А.И. Азаров, С.А. Барвенов. Интенсивный курс подготовки к тестированию. Математика Минск. ТетраСистемс. 2005г.

8. Н.Л. Виленкин, О.С. Нвашов-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и математический анализ 10 класс. М.: Мнемозина, 2004г.

9. Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочкин, М.В. Чинкина Дидактический материал. Алгебра и начала анализа 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Дрофа, 2001г.