Квадратичная функция, ее график и свойства

Этап

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые умения

1. Мотивационно-ориентировочный блок

1.1. Мотивация к учебной деятельности.

Учитель приветствует учащихся.

Читает эпиграф к уроку: Математика – самая надежная форма пророчества. В. Швебель

(слайд 3).

Как вы думаете, какую форму пророчества имел виду? В. Швебель?

Мне бы хотелось, сегодня на уроке разобрать некоторые задания из КИМов ОГЭ, в частности задание 22.

22 задание ОГЭ по математике очень интересное и не самое сложное. Идеи заложенные в основе решения этой задачи довольно просты и нам нужно просто не боятся этого задания и пробовать его решить. Успешное решение этого задания обеспечить вам правильное выполнение еще 4 заданий из первой части ОГЭ

Поэтому я надеюсь, что сегодня на уроке все будут активно работать.

Учитель читает высказывание А.Н. Крылова «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле». (А.Н. Крылов)

Как вы думаете: как вам и вашим родителям может помочь правильная математическая идея для успешной подготовки и сдачи ОГЭ?

Учитель обобщает рассуждения обучающихся и подводит итог беседы:

Для успешной сдачи ОГЭ изучите таблицу Обобщённого плана вариант КИМ
основного государственного экзамена и ваши сильные и слабые стороны.

Записывают в тетради число, вид работы.

Высказывают предположения. Беседуют с учителем, между собой.

Л: осознание необходимости получения новых знаний, мотивация познавательной деятельности.

К: умения слушать, вступать в диалог, вырабатывать совместную точку зрения, участвовать в коллективном обсуждении.

П: развитие мыслительных операций

1.2 Этап выделения проблемного поля и целеполагания

В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п.

Задание 7. При каких отрицательных значениях k прямая y = kx – 4 имеет с параболой  y = x² +3x  ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

(Уметь выполнять преобразования алгебраических
выражений, решать уравнения, неравенства и их сис-
темы, строить и читать графики функций, строить и
исследовать простейшие математические модели.)

Читает высказывание Конфуция «Когда вам покажется, что цель недостижима, не изменяйте цель - изменяйте свой план действий»

(слайд 7).

Учитель систематизирует и обобщает выводы и ответы учащихся.

Определить тему урока и образовательную цель урока.

(слайд 2).

Тема «Функции и их графики»

Цели:

1. Построение графика квадратичной функции.

2. Определение коэффициентов квадратичной функции по его графику.

3. Нахождение точек пересечения квадратичной и линейной функций

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты ответов на его вопросы.

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты ответов на его вопросы

Анализируют информацию, проводят ее синтез, сравнивают, делают выводы.

Формулируют тему "Функции и их графики» и цель "Учиться применять знания по изучаемой теме при решении практических задач".

Записывают тему урока.

К: умение высказывать собственные мысли, умение слушать и воспринимать другого, понимать собеседника.

П: умение перерабатывать информацию, выделять существенные признаки

Р: самостоятельное выделение и формулирование целей.

Л: личностное самоопределение, осознание необходимости получения новых знаний.

2. Организационно-деятельностный блок

2.1 Этап актуализации опорных знаний и фиксация проблемы при выполнении заданий

Выдаёт на каждую парту по четыре листа с заданиями (листы разных цветов).

Давайте вспомним, какую функцию называют квадратичной и алгоритм построения графика квадратичной функции?

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D (2431);

Даны четыре графика квадратичной функции. Для каждого графика определить промежутки возрастания(убывания) функции, наибольшее(наименьшее) значение.

- А умеете ли вы определять координаты точек?

Определите координаты вершины и точки правее от вершины на 1.

(слайд 4, 5).

Задание 2. Найдите координаты вершины параболы функции у = x² -4x+3.

(слайд 6).

Организует и контролирует работу учащихся.

Выявить, зафиксировать и решить проблемную ситуацию: проверят задание на листах самоконтроля и презентует правильное решение.

- Молодцы! Вы прекрасно поработали.

Самостоятельно выполняют задание №1 и задание №2 в листе самоконтроля (приложение 1).

К доске вызывается ученик, который презентует свою работу с помощью документ камеры. Остальные учащиеся проверяют решение и оценивают свою работу.

Учащиеся, которые выполнили задания передают листы.

Вспоминают определение и свойства квадратичной функции.

Записывают формулы для нахождения вершины параболы.

Находят координаты вершины параболы и точки правее вершины.

Л: оценивание усвоенного раннее материала.

Р: формирование умений планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.

П: активизация опорных знаний и умений

2.2 Этап формирование новых знаний и умений.

(Объяснение новой темы)

Предлагаю более детально разобрать и обсудить, алгоритм построения графика квадратичной функции и связь между коэффициентами и графиком квадратного трехчлена.

1. Что мы должны знать про каждый коэффициент?

2. Как найти коэффициенты по графику функции?

Предлагаю, для этого, решить задачу пару задач.

Задание 3. Найдите значение а, b и с по графику функции у = ах²+bx+c, изображенному на рисунке.

(слайд 8).

I. Нахождение коэффициента a:

1) по графику параболы определяем координаты вершины (m, n)

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А(х;у)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=a(х-m)²+n

4) решаем полученное уравнение относительно а.

Или f(m+1) – f(m)

II. Нахождение коэффициента b:

1. Сначала находим значение коэффициента а;

2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a;

3. Находим значение коэффициента b.

Замечание. Если а и b одного знака, то вершина слева от оси Ох.

(Если а и b разного знака, то вершина справа от оси Ох).

III. Нахождение коэффициента с:

1. Находим ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с;

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II (находим коэффициенты a, b)

3. Подставляем найденные значения a, b , А(х ;у) в уравнение у=ax² +bx+c и находим с.

Задание 4. При каких отрицательных значениях k прямая y = kx – 4 имеет с параболой  y = x² +3x  ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

(слайд 9-13 )

Сделайте вывод: уравнять правые части двух функций и решить уравнение.

Предлагает составить алгоритм решения подобных задач.

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты текста задачи и в ходе коллективного обсуждения приходят к выводу:

Вступают в диалог с учителем.

Отвечают на его вопросы. Записывают выражение, для нахождения координат параболы.

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1. определить направление ветвей параболы (коэффициент а);

2. вычислить координаты вершины параболы (m; n) по формулам

х₀ = , у₀ = y (x₀) или у₀ = - . (m , n = и построить в системе координат;

1. провести ось симметрии параболы (x = m);

2. найти нули функции, если они есть (дискриминант D), решив квадратное уравнение;

3. найти точку пересечения с осью Оу (коэффициент с);

4. найти и построить дополнительные точки с учетом оси симметрии параболы;

5. провести через построенные точки параболу.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций надо приравнять правые части обоих функций и решить получившееся уравнение.

Отвечают на вопрос учителя и делают вывод:

1. коэффициент а отвечает за направление ветвей параболы и определяется по координатам двух точек параболы;

2. Коэффициент с – ордината точки пересечения параболы с осью Оу;

3. Растяжение графика вдоль оси Оу относительно оси Ох при а 1 (сжатие при 0

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты последовательности действий.

Составляют алгоритм решения подобных задач:

1. уровнять правые части функций и решить уравнение;

2. построение графиков функций.

(приложение 4)

П: умения логически рассуждать, делать умозаключение, формирование интереса к теме.

Л: готовность к самообразованию, осознание личной ответственности за результат; умение переносить предметные знания на другие сферы деятельности человека.

К: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении, давать полный ответ, доказывать свою точку зрения.

Р: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи.

2.3 Этап первичного усвоения новых знаний и закрепления темы.

Учитель предлагает обучающимся по составленным двум алгоритмам действий решить следующие задачи:

Задание 5. Найдите значение а и с по графику функции у = ах²+bx+c, изображенному на рисунке.

(слайд 14)

Управляет познавательной деятельностью обучающихся, оказывает дозированную помощь

Обучающиеся работают парами. Выполняют решение в листе самоконтроля

Учащиеся, первыми решившие задачу правильно, выходят к доске, с помощью документ камеры презентуют свою работу.

Остальные учащиеся проверяют решение и оценивают свою работу.

Р: осознание того, что усвоено, а что подлежит усвоению; структурирование собственных знаний.

П: умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

К.: умение сотрудничать в парах, принимать на себя роль консультантов и экспертов, выслушивать мнение напарника.

Л: умение работать в паре, аргументация своего мнения.

Физкультминутка (для глаз)

2.3 Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.

Учитель предлагает обучающимся решить следующую задачу:

Задание 6. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = x² + 4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

(слайд 15-16).

Управляет познавательной деятельностью обучающихся, оказывает дозированную помощь.

Организует обсуждение итогов работы, уточняет и дополняет ответы обучающихся.

Решают задачу самостоятельно в листах самоконтроля.

Выполняют взаимопроверку по слайду презентации, оценивают свою работу.

(слайд 8).

Р: отличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона.

Л: находчивость, активность при решении задач; умение оценивать свои достижения

П: умение применять полученные знания для решения задач; развитие мыслительных операций

2.4 Этап применения знаний в нестандартной ситуации.

Учитель предлагает обучающимся:

1. сформулировать план (алгоритм) решения следующей задачи:

2. решить задачу.

Задание 7. Постройте график функции y =  и определите, при каких значениях параметра c прямая y = c  имеет с графиком ровно одну общую точку.

(слайд 17-18).

Учитель организует обсуждение плана решения задачи, уточняет и дополняет план.

Составляют и формулируют план решения задачи.

Решают задачу и проверяют решение по образцу.

(слайд 11)

Р: структурирование собственных знаний;

Л: находчивость, активность при решении задач;

П: умение применять полученные знания для решения задач.

3. Рефлексивно-оценочный блок

3.1 Рефлексия учебной деятельности

В успехе нет ничего магического или загадочного. Успех – это результат ежедневного выполнения простых правильных действий. (Джим Рон.)

(слайд 19).

- Ребята, давайте вспомним основные понятия, с которыми мы с вами познакомились при изучении темы «Функции и графики функций».

Предлагает учащимся вспомнить, какую цель ставили в начале урока. Спрашивает, достигли ли ее. Согласны ли с эпиграфом. Организует рефлексию. Предлагает из облака слов выбрать наиболее значимые слова для каждого ученика и записать с их помощью свое отношение к работе на уроке

Соотносят полученную информацию с той, что была у них в начале урока, выясняют на какие вопросы найдены ответы, а на какие еще нет. Составляют свое маленькое резюме о своей работе на уроке.

Оценивают свою работу на уроке в листах самоконтроля и сдают его учителю.

Л: умение оценивать свои достижения, выявлять причины неудачи.

К: умение адекватно оценивать результат, сотрудничать со сверстниками и учителем.

П: умение сопоставлять цель и результат

1. Объяснение домашнего материала

4.1 Домашнее задание

Предлагает записать домашнее задание (приложение 5). (слайд 20).

Критерии оценки домашнего задания:

одна задача – «3», две задачи – «4», три задачи – «5»

Благодарит за работу.

Формулируют уточняющие вопросы учителю, записывают в дневники домашнее задание.

Саморегулирование

Графики

А) Б)

С

В) Г)

Знаки чисел