Квадратичная функция. Её свойства и график.

Квадратичная функция. Её свойства и график.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. ( Н.Е.Жуковский )

Определение квадратичной функции

Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида :

y= ax 2 +bx + c

где: a,b,c – числа

Х – независимая переменная

а 0

• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ
• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ

1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными :

у = 5х + 2

у = х 2 – 1

у = 5х 2 + 3х

у = - ( х + 3 ) 2 + 2

у = 6х 3 – 5х 2 + 7

у = 7х 2 + 2х -1

у = х 2 – 5х + 6

у = 6х 4 + 5х 2 + 7

График любой квадратичной функции – парабола.

Алгоритм построения параболы у = ах 2 + bх + с :

• Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симметрии.
• Определить направление ветвей параболы.
• Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют).
• Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Построение графика функции

у

х

Чтобы построить график функции у = ах 2 + bx + с ,

надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах 2 , чтобы вершина оказалась в точке ( x 0 ; y 0 )

-

Таким образом:

.

Графиком квадратичной функции

у = ах 2 + bх + с является парабола, которая получается из параболы

у = ах 2 параллельным переносом .

Вершина параболы - ( х 0 ; у о ) ,

где : х о = - у 0 =

Осью параболы будет прямая

х = -

Свойства квадратичной функции

Функция непрерывна

• Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта .

Вспоминаем :

Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 называется выражение

b 2 – 4ac

Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .

Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

•   если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

•   если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
•   если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена ( а ) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),

•   абсцисса вершины параболы равна

-

ветви параболы направлены вверх ,

При

у

у

При

ветви параболы направлены вниз

f(x 0 )

х

х

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз

f(x) = 7х 2 + 2х -1

f(x) = ( х + 2 ) 2 – 3

f(x) = - 3х 2 + 1

f(x) = 0,5 х 2 – 6х + 5

f(x) = - 2 ( х – 3 ) 2 + 4

f(x) = ( х + 2 ) 2 – 3

f(x) = х 2 + (а + 1)х + 3

f(x) = 6х 3 – 5х 2 + 7

0 (Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8) " width="640"

Ось симметрии

Построение графика вкадратичной функции :

Построим график , используя свойства квадратичной функции у = х 2 - 6 х + 8 :

( 3; -1)- вершина параболы (т.к. х = -(b/ 2a); y=(4ac – b 2 ) / 4a )

Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х = 2 и Х = 4

а 0 (Ветви параболы направлены вверх)

Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8)

0 при х 4 f(x) " width="640"

Ось симметрии

Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + )

Функция возрастает в промежутке [ +3; + )

Функция убывает в промежутке ( - ;+3]

Наименьшее значение функции равно -1

Наибольшего значения функции не существует

f(x) 0 при х 4

f(x)