Квадратные уравнения

Если ты услышишь, что кто - то не любит математику, не верь.

Её нельзя не любить - её можно только не знать.

Исторические сведения:

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Задача Бхаскары :

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Актуальность темы:

Почти треть учащихся не справляются с заданиями

на решение квадратных уравнений.

В чем же дело?

Плохо закрепили навыки решения?

А как решить эту проблему?

Сколько возникает вопросов и все они актуальны.

Принципы отбора содержания образования

• Психологический.
• Дидактические:

• сознательности; наглядности; доступности.
• сознательности; наглядности; доступности.
• сознательности;
• наглядности;
• доступности.

• Методические.
• Принцип положительного эмоционального фона (активности).

Образовательные цели и задачи:

• Введение понятия квадратного уравнения, обучение решению уравнения вида при d ≥ 0.
• Формирование у учащихся умения решать неполные квадратные уравнения.
• Знакомство учащихся с методом выделения полного квадрата.
• Формирование у учащихся умения применять формулу корней квадратного уравнения.
• Формирование у учащихся умения решать биквадратные уравнения и некоторые виды уравнений

с неизвестным в знаменателе, приводящиеся к квадратным.

• Обучение самостоятельному составлению квадратных уравнений по условиям текстовых задач и

решению их с использованием ранее сформированных навыков.

Учащиеся должны мысленно выделять 3 этапа решения задачи:

• составление уравнения; решение полученного уравнения; выбор верного ответа.
• составление уравнения;
• решение полученного уравнения;
• выбор верного ответа.

• Обучение решению простейших систем двух уравнений, содержащих уравнение второй степени.
• Развивать алгоритмическое мышление.
• Способствовать развитию творческих способностей учащихся на уровне, необходимом для

продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области квадратных уравнений.

• Формировать исследовательские навыки каждого учащегося.
• Способствовать приобретению опыта на составление компьютерной презентации.

Ожидаемые результаты:

• понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач

из математики, смежных областей знаний, практики;

• уметь правильно употреблять термин «уравнение», «система», «корень уравнения»,

«решение системы», понимать их в тексте и речи учителя;

• знать общий вид квадратного уравнения и названия его коэффициентов;
• уметь решать уравнения вида , d≥0
• уметь решать неполные квадратные уравнения.
• уметь справляться с решением квадратных уравнений методом выделения полного

квадрата.

• уметь применять формулу
• знать формулы Виета и формулу и уметь применять их при

выполнении упражнений;

• уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратным;
• научиться решать задачи с помощью составления уравнений;
• уметь решать способом подстановки системы уравнений, содержащих уравнение

второй степени;

Технологии и формы организации деятельности:

• Технология проблемного обучения.
• Технология индивидуального обучения.
• Технология коллективного способа обучения.
• Технология развивающего обучения с направленностью на развитие творческих

качеств личности.

• Технология поэтапного формирования умственных действий.
• Технология уровневой дифференциации.
• Технология саморазвивающего обучения.
• Технология широкого использования потенциала личностно-ориентированного

подхода в обучении.

Использование информационно – коммуникативных технологий

позволяет решать задачи:

Для учащихся:

• Создание простейших ситуаций обучения.
• Развитие межпредметных связей.
• Организация индивидуального подхода для каждого учащегося.
• Стимуляция коммуникативной деятельности учащихся.
• Интенсификация обучения, повышение мотивации.
• Создание условий для самостоятельной работы.
• Возможность избежать рутины.

Для преподавателя:

• Тесты на контроль усвоения материала.
• Раздаточный материал.
• Самостоятельные и проверочные работы по изучаемому разделу.
• Планы уроков.
• Календарно-тематическое планирование.
• Разработки к недели математики.

Наиболее трудные моменты в организации раздела

• применение метода выделения полного квадрата ;
• традиционно трудным является рассмотрение теоремы Виета ;
• применение трех формул корней квадратного уравнения ;
• рассмотрение комплексных корней, для которых также применима общая

формула корней и справедлива теорема Виета ;

• трудности связаны с возможностью появления посторонних корней ;
• решение текстовых задач ;

Планирование раздела:

№ урока

48, 49

№

25

50

Содержание учебного материала.

Количество часов

Анализ контрольной работы. Квадратное уравнение и его корни.

26

51

Сроки изучения

2

Неполные квадратные уравнения.

27

52

53

54, 55

4,8 дек.

28

1

Метод выделения полного квадрата.

56,

57

Решение квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Закрепление навыков решения квадратных уравнений.

9

1

58

59, 60

29

11

1

1

2

Приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета. Проверочная работа.

61

62

63

64

30

15

16

18, 22

68, 9

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Решение уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби.

2

31

70

32

23, 25

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Решение задач уравнением с переменной в знаменателе.

Решение задач на совместную работу.

Закрепление навыков решения задач с помощью квадратных уравнений.

1

2

1

1

1

1

12 янв.

13, 15

Обобщающие уроки.

33

19

20

22

26

2

Контрольная работа № 3 по теме «Квадратные уравнения»

3, 5

1

9 февр.

Место и роль раздела:

Раздел «Квадратные уравнения» является одним из важнейших в курсе алгебры, т.к

создает базу для дальнейшего развития при изучении квадратичной функции, квадратных

неравенств и алгебраических уравнений, рассматриваемых в следующих классе.

Большую роль изучение раздела играет при решении текстовых задач.

Учащиеся знакомятся с задачами, ранее с которыми они не встречались.

Это задачи из области физики, химии, экономики, решение задач на совместную работу.

Решения таких задач требуют применение навыков решения квадратных уравнений.

Связь с последующим материалом, а также

внутрипредметные и межпредметные связи:

Усвоение раздела «Квадратные уравнения» дает возможность для дальнейшего

изучения программного материала.

При решении текстовых задач в разделе «Квадратные уравнения» применяются

сведения из других предметов: геометрии, физики, химии, экономики.

Пример .

В шахту брошен камень, и звук от его удара был услышан спустя 9 с. Определить глубину шахты, считая скорость звука равной 320 м/с, а ускорение силы тяжести . Используя формулу закона свободного падения с помощью преобразований алгебраического выражения получаем квадратное уравнение, решая его получаем t 1 = 8, t 2 = - 72. Так как время падения камня положительно, то t = 8 с.

Уровни изучения и усвоения учебного материала:

В систему контроля за выполнением требований к математической подготовки

учащихся входят три типа проверочных работ:

1 тип - это тесты на проверку достижения уровня обязательной подготовки.

2 тип - тесты, направленные на выявления разного уровня подготовки и

иллюстрирующие возможности дифференциации уровней требований.

3 тип – контрольная работа.

0 , то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны и " width="640"

Учебно – методический комплекс:

Теоретические сведения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c=0 , г де a, b, с  R, (a  0).

Числа a, b, с носят следующие названия:

a - первый коэффициент , b - второй коэффициент , с - свободный член.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения и равное D = b 2 - 4 ac .

- если D , то данное квадратное уравнение не имеет

действительных корней;

• если D = 0 , то данное квадратное уравнение имеет единственный

корень, который равен                    

• если D 0 , то данное квадратное уравнение имеет два

корня, которые равны и

Пример:

Найти наибольший корень уравнения

Решение: найдем область определения допустимых значений переменной уравнения,

предварительно приведя его к виду получим: , ,

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель , получим уравнение

, , , ,

• оба числа удовлетворяют условию

Наибольший корень

Проверка :

Ответ: 2.

Франсуа Виет :

Если приведенное квадратное уравнение

имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

Теорема: (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x 1 +  x 2 и x 1 x 2.

Пример:

Записаны квадратные уравнения и соответствующие им буквы. Отвечая на вопрос, нужно

выбрать из предложенных такое уравнение, которое проще решить указанным способом,

назвать букву и составить слово.

Какое уравнение удобнее решать:

- извлечением квадратных корней из обеих его частей?

[Д]

- вынесением общего множителя за скобки?

[И]

- представляя его в виде квадрата двучлена?

[О]

- используя общую формулу корней?

[Ф]

• по формуле, связанной с четностью второго

коэффициента?

[А]

- по теореме, обратной теореме Виета?

[Н]

• разложением на множители по формуле разности

квадратов?

[Т]

А

Д

И

Н

О

Т

Ф

Е

Результаты апробации содержания раздела программы:

«Дитя требует деятельности беспрестанно,

а утомляется не деятельностью, а ее однообразием».

К.Д. Ушинский