Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Учитель математики

ГБОУ «Гимназия «Диалог»

Джигкаева Тамила Заурбековна

Цели:

1.Систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»; 2.Развитие интереса к предмету.

Задачи:

1. Знать определение квадратного уравнения, типы, методы решения; 2. Понимать отличительные особенности квадратных уравнений; 3. Применять полученные знания при решении рациональных, иррациональных уравнений, сокращении дробей, решении задач.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

ДИОФАНТ

• В арифметике Диофанта отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

• При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

325 – 409 г.г. по Р. Х. знаменитый александрийский математик.

Задача Диофанта

10

10

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96.

Если бы искомые числа были равны:

То произведение чисел было бы равно 100

ПРОТИВОРЕЧИЕ

С

УСЛОВИЕМ!!!

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96.

Значит, одно из этих чисел будет больше половины их суммы, т. е. (10 + х) ,

другое же меньше, т. е. (10 – х) .

Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение :

(10+x)(10—x) =96 ,

100 —x 2 = 96.

x 2 - 4 = 0

х = 2

Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 .

Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Интересные способы решения квадратных уравнений встречаются в трудах индийского ученого Бхаскары

(600 – около 680г.г.).

И арабского ученого

Ал – Хорезми

(780 – около 850г.г .)

Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась, их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась, а двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Бхаскара пишет:

x 2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 1024, получая затем:

x 2 - 64х + 1024 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32= ±16,

x 1 = 16,       x 2 = 48.

Задача Ал – Хорезми:

Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида

где коэффициенты a , b , c -любые действительные числа, причем

Определение корня

• Корнем квадратного уравнения

называют такое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен

обращается в нуль;

Типы квадратных уравнений

• полные

• неполные

а)

б)

в)

Данные уравнения разбейте на полные и неполные:

a) 9х 2 =0 ;

б) 3x+ x 2 +1=0 ;

в) 2x 2 -32=0;

г) x 2 +4x=0 ;

д)2х 2 +5х-7=0;

е)12-х 2 +3х=0.

б) 3х+х 2 +1=0;

д)2х 2 +5х-7=0;

е)12-х 2 +3х=0.

полные:

неполные:

а) 9х 2 = 0;

в) 2х 2 -32=0;

г ) х 2 +4х=0.

Способы решения неполных квадратных уравнений

c=0

b=0

b=0;c=0

Решите уравнения:

Формулы корней полного квадратного уравнения

Корней нет

Один корень

Два корня

Формула четного коэффициента

b=2k

a=1

Теорема Виета

- корни квадратного уравнения

1.Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулы корней:

Корней нет

2.Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3 и -7:

Применение квадратных уравнений

-решение рациональных уравнений;

-решение иррациональных уравнений;

-решение задач;

- разложение квадратного трехчлена на множители;

- сокращение дробей .

Задание:

1.Решите уравнения:

2.Сократите дробь:

3.При каком значении параметра a уравнение имеет один корень?

Проверь себя!

Ответ: 1;2.

Проверь себя!

Корней нет

Ответ: -4;4.

Проверь себя!

Проверка:

-2-посторонний корень

Ответ: 1.

Проверь себя!

2.Сократить дробь:

Проверь себя!

3.

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0;

Ответ: а=-6;а=6.

Составьте математическую модель для решения задачи:

В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 4 см, а другой – на 8 см. Найдите гипотенузу.

Домашнее задание:

1.Решите уравнения:

2.Сократите дробь:

3.При каком значении параметра а уравнение имеет один корень?

Использованные ресурсы

1.А.Г.Мордкович Алгебра.Учебник для 8 класса.

М. 2011г.

2.М.В.Ткачева.Алгебра 8 класс. М. :Просвещение, 2011.

3.Изображения:

Диофант http://lunkina.hop.ru/diofant.jpg

Бхаскара http://living-smartly.com/wp-content/uploads/2013/02/Bhaskarach%C4%81rya.jpg

Ал-Хорезми http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/384/383503/383503_html_64e7f358.jpg

Вавилонhttp://forexaw.com/TERMs/Geografiya/img228249_4-9_Mesopotamiya.jpg

Веселая картинка http://mobka.info/sys/data/avators/3/gsiGQM.jpg