Квадратный трехчлен и его корни

Тема урока: Квадратный трехчлен и его корни

Цель урока:

-Ввести понятие квадратного трехчлена;

- организовать деятельность учащихся по закреплению и обобщению знаний по теме «Квадратный трехчлен и его корни», проверить знания и умения учащихся по данному материалу;

- развивать познавательную активность и самостоятельность учащихся, способствовать формированию логического мышления и грамотной математической речи .

- продолжить подготовку к Основному Государственному Экзамену.

Тип урока: комбинированный ( повторение, систематизация ).

Оборудование: учебник, тетрадь, раздаточный материал.

План урока:

1. Организационный момент (нацелить учащихся на урок).

2. Устная работа (повторить материал, связанный с решением квадратного уравнения: формулы корней, зависимость числа корней от дискриминанта, решение неполных квадратных уравнений).

3. Изучение нового материала (рассмотреть примеры: 1)нахождение корней квадратного трехчлена; 2) выделение из трехчлена квадрат двучлена; 3) применение выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена).

4. Тренировочные упражнения (формировать умение находить корни квадратного трехчлена).

5. Самостоятельная работа (диагностика и коррекция формируемого навыка).

6. Итог урока (обобщить сведения, полученные на уроке).

7. Сообщение домашнего задания (разъяснить содержание домашнего задания).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

1. Что такое многочлен?

2. Что называют степенью многочлена?

3. Что называют квадратным уравнением?

4. Что называют дискриминантом квадратного уравнения?

5. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

6. Решите уравнение:

а ) х² –х=0; б ) 144- х² =0; в) а³ -9а =0; г) х² +16х+64=0; д) х² +25=0.

1. Прочитайте квадратный трехчлен и назовите чему равны коэффициенты а, в и с.

3х²-18х; а²+4а-13; 25 -2в²+3в; в-16+в² .

1. Найдите количество корней квадратного уравнения. 3х²-х-4=0; -х²-х-2=0; а²+2а -1=0 .

1. Изучение нового материала.

Каждое из выражений х⁵ -2х⁴ +3х³ – 7х +2; 2у⁴ – у³ +5у² -3у +18; 7z⁶ -6z⁵+ z² -2z+3 является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена х³ –х. Для этого решим уравнение х³ –х=0.

Разложив на множители левую часть уравнения, получим х(х-1)(х+1)=0,

х₁=0, х₂=1, х₃= -1.

Таким образом, числа 0,1,-1 – корни многочлена х³ –х.

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Определение. Квадратным трехчленом называют многочлен вида ах² + вх + с, где х – переменная, а,в,с – некоторые числа, причем а не равно нулю.

Приведем примеры квадратных трехчленов: многочлены

3х² – 5х -2; 25х² –х; 36х² .

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах² + вх + с, надо решить квадратное уравнение ах² + вх + с=0.

Пример 1. Найдите корни квадратного трехчлена 3х² – 2х -5.

Решение: Решим уравнение 3х² – 2х -5=0.

D= 64; х₁ =1 ²/_3; х₂= -1.

Значит, квадратный трехчлен 3х² – 2х -5 имеет два корня: 1 ²/₃ и -1.

Так как квадратный трехчлен ах² + вх + с имеет те же корни, что и квадратное уравнение ах² + вх + с=0, то он может, как и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не иметь корней. Это зависит от дискриминанта квадратного уравнения D= b² – 4ac, который называют также дискриминантом квадратного трехчлена. Если D0, то квадратный трехчлен имеет два корня; если D=0 , то квадратный трехчлен имеет один корень; если D

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен ах² + вх + с

в виде a(x-m)²+n , где m и n – некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

* А теперь давайте вспомним порядок выделение квадрата двучлена. Что нам в этом поможет? (формулы сокращенного умножения) 

(а ± в)²= а²±2ав+в²

На что нужно обратить внимание, прежде чем начать выделение квадрата двучлена? (на старший коэффициент а)

Пример 2. Выделить из трехчлена 2х²-24х+84 квадрат двучлена.

Решение: 2х²-24х+84=2(х²-12х+42)=2(х²-2 ^. 6 ^.х+36-36+42)=2((х-6)²+6)=2(х-6)²+12.

Значит, 2х²-24х+84=2(х-6)²+12.

Пример 3. Доказать, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение: Пусть х см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая сторона равна 10-х см, а площадь прямоугольника равна х(10-х) см².

Выделим квадрат двучлена: х(10-х)= 10х-х²= -х²+10х= - (х²-10х)= -( х²-10х+25-25)= =-((х-5)²-25)= -(х-5)²+25.

Выражение -(х-5)² при любом х отрицательно или равно нулю.

Следовательно, сумма -(х-5)²+25 принимает наибольщее значение при х=5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна5 см. тогда другая сторона также равна 5 см, т.е.прямоугольник является квадратом.

1. Тренировочные упражнения.

№ 55 - на доске и в тетрадях с подробным объяснением;

№ 56- на доске и в тетрадях с подробным объяснением;

№ 59(а,г,д,е) - на доске и в тетрадях с подробным объяснением;
№ 61 (а,б,в) - на доске и в тетрадях с подробным объяснением;

№ 64 (а,в) - на доске и в тетрадях с подробным объяснением;

1. Самостоятельная работа.

(с последующей проверкой)

Вариант I:

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а ) х² + 6х – 16;

б ) - х² +2х +99;

в ) 2 х²- х .

1. Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Закончите решение:

а) х² -18х+ 14 = х² – 2^.9^.х +9² – 9² +14=…

б) –х² + 6х = - (х² - 6х)= - ( х² – 2^.3^.х + 3² – 3² ) = …

Вариант II:

1) Найдите корни квадратного трехчлена:

а ) х² - 8х + 15;

б ) - х² +3х -10;

в ) 7 х²- 28 .

2) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Закончите решение:

а ) –х² -24х +25 = - (х²+ 24х -25)= - ( х² + 2^.12^.х +12²-12²-25)=…

б) х² + 2х = х² + 2 ^.1^.х +1²- 1² =…

1. Итог урока.

Ответить на контрольные вопросы :

1. Какой многочлен называется квадратным трехчленом? Приведите пример.

2. Назовите коэффициенты в выражении: 2х² - 8х + 15; х²- 28; 9х².

3. Что называется корнем квадратного трехчлена?

4. Сколько корней имеет квадратный трехчлен, если его дискриминант: а) больше нуля; б) равен нулю; в) меньше нуля?

1. Задание на дом.

П.3; №№ 60;62;65.

Самостоятельная работа.

Вариант I:

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а ) х² + 6х – 16;

б ) - х² +2х +99;

в ) 2 х²- х .

1. Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Закончите решение:

а) х² -18х+ 14 = х² – 2^.9^.х +9² – 9² +14=…

б) –х² + 6х = - (х² - 6х)= - ( х² – 2^.3^.х + 3² – 3² ) = …

Самостоятельная работа.

Вариант II:

1) Найдите корни квадратного трехчлена:

а ) х² - 8х + 15;

б ) - х² +3х -10;

в ) 7 х²- 28 .

2) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Закончите решение:

а ) –х² -24х +25 = - (х²+ 24х -25)= - ( х² + 2^.12^.х +12²-12²-25)=…

б) х² + 2х = х² + 2 ^.1^.х +1²- 1² =…

Список учебной литературы к рабочей программе по алгебре для 9 класса

Учитель: Козлова Е.В.

1) Учебник. Алгебра,9. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков,

С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2012.

1. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, Л.М. Короткова.- М.: Просвещение, 2012.

3) Дидактические материалы по алгебре. 7-9 классы. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В.,

Суворова С.Б. – М.:Просвещение.2012.

4) Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий,

И.В. Ященко.-М.: МЦНМО: АО «Московские учебники»,2010.

5) События. Вероятности. Статистическая обработка данных.7-9 кл. А.Г. Мордкович,

П.В. Семенов. М.: Мнемозина,2012.

6) Алгебра. Тесты. 7-9 классы. Учебно-методическое пособие.П.И.Алтынов. М.:

Дрофа,2006.

7) ОГЭ. Алгебра. Сборник заданий. В.В.Кочагин,М.Н., Кочагина. Москва,Эксмо,2015.

7