Квадратный трёхчлен и его корни.

Квадратный трёхчлен и его корни.

В 7 классе на уроках алгебры мы познакомились с таким понятием, как многочлен. Напомним, что многочленом называется сумма одночленов. Более простым языком: многочлен – это математическая запись, в которой присутствуют числа, буквы и знаки арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, возведение в степень).

Например, .

Однако, есть такие многочлены, в которых используется только одна переменная, и она может возводиться в нулевую, первую и вторую степень. Такой многочлен называется квадратным трёхчленом.

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида , где – некоторые числа, причём (иначе многочлен не будет квадратным), – переменная (переменная может обозначаться и другой буквой, например, …)

Например, – квадратный трёхчлен, здесь .

- тоже квадратный трёхчлен, у него .

По последнему примеру видно, что для квадратного трёхчлена обязательным является наличие переменной во второй степени, а коэффициенты и могут равняться нулю.

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором квадратный трёхчлен равен нулю.

Значит, чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно приравнять его к нулю и решить квадратное уравнение.

Например, найти корни квадратного трёхчлена .

• приравняем этот трёхчлен к нулю:

• решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Значит, корнями данного квадратного трёхчлена являются числа и .

Любой квадратный трёхчлен можно представить в виде квадрата двучлена. Эта операция называется выделением квадрата двучлена. Для этой операции используются формулы квадрата суммы и квадрата разности. Покажем на примере, как это происходит.

Например, выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена

• к первым двум слагаемым добавим такое слагаемое, чтобы вместе они составляли формулу квадрата разности. Но чтобы всё выражение не изменилось, это же слагаемое тут же вычтем:

• свернём получившуюся формулу и посчитаем оставшиеся слагаемые:

• квадрат двучлена выделен.

Приведём более сложный пример.

• поскольку коэффициент перед не является квадратом точного числа, вынесем 2 за скобки:

• к первым двум слагаемым в скобках прибавляем такое число, чтобы получилась формула квадрата суммы, и тут же это число и отнимаем:

• сворачиваем получившуюся формулу:

• раскрываем скобки (умножаем 2 на каждое слагаемое, стоящее в скобках):

.

Усложним ещё задачу.

• поскольку , а , то за скобки выносим только :

• в соответствии с формулой второе слагаемое должно являться удвоенным произведением первого выражения на второе, поэтому, распишем его в таком виде: . Значит, второе выражение , а в квадрате оно равно . Прибавляем и тут же отнимаем число :

• сворачиваем формулу и считаем оставшиеся слагаемые:

• вынесем множитель 2 из квадрата:

• раскрываем скобки:

Для того, чтобы выделять квадрат двучлена из трёхчлена нужно хорошо знать и понимать формулы квадрата суммы и квадрата разности. Без этих знаний операция недоступна. Напомним эти формулы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенного произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

1. Запишите данные выражения в виде квадратных трёхчленов вида , где , и заполните таблицу коэффициентов этого трёхчлена.

1. Сколько различных корней имеет каждый квадратный трёхчлен?

2. Какое из следующих чисел является корнем квадратного трёхчлена ?

3. Какое из следующих чисел является корнем квадратного трёхчлена ?

4. Какое из следующих чисел является корнем квадратного трёхчлена ?

5. Какое из следующих чисел является корнем квадратного трёхчлена ?

6. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1. Укажите квадратный трёхчлен, который имеет два различных корня.

1. Укажите квадратный трёхчлен, который имеет два одинаковых корня.

2. Какие из данных квадратных трёхчленов не имеют корней?

3. Укажите трёхчлен, который принимает только неположительные значения.

4. Укажите трёхчлен, который принимает только положительные значения.

5. Укажите трёхчлен, который принимает только отрицательные значения.

6. Укажите трёхчлен, который принимает только неотрицательные значения.

7. Найдите значение , при котором трёхчлены принимают наименьшее значение.

8. Найдите значение , при котором трёхчлены принимают наибольшее значение.

1. При каких значениях выражения тождественно равны?

   и	и
   и	и
   и	и
   и	и

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

3. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его второй коэффициент в 4 раза меньше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

4. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 5 раз больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

5. Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:

   и	и	и
   и	и

6. Найдите наименьшее значение выражения:

7. Найдите наибольшее значение выражения:

8. Найдите наибольшее значение функции на промежутке .

9. Найдите наименьшее значение функции на промежутке .

10. Определите, имеет ли квадратный трёхчлен корни, если график функции проходит через точку:

11. Определите, имеет ли квадратный трёхчлен корни, если график функции проходит через точку:

12. При каких значениях параметра наибольшие значения выражений равны нулю?

1. Докажите, что квадратный трёхчлен принимает положительное значение при любом :

2. Докажите, что квадратный трёхчлен принимает отрицательное значение при любом :

3. При каком значении квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение?

4. При каком значении квадратный трёхчлен принимает наибольшее значение?

5. Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону уменьшили на см, а меньшую увеличили на столько же. При каком значении площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

6. Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону уменьшили на см, а меньшую увеличили на столько же. При каком значении площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

7. Решите уравнение: .

8. Решите уравнение: .

4