Курсы для учителей от 800 ₽ (72 часа). Документы об окончании по почте БЕСПЛАТНО, комфортное обучение из дома

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 13.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Был в сети 18.12.2024 09:17

Никитин Михаил Евгеньевич

преподаватель высшей категории

63 года

8 982

4 805

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Раменское, Московской области

Специализация

Информатика

Математика

Классному руководителю

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Лекция 4. "Параллельность плоскостей".

Категория: Математика

16.04.2022 13:30

Определение и свойства плоскости

Плоскость – поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую любые ее точки.

Свойства плоскости:

Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
Прямая либо параллельная плоскости, либо находится на ней, либо пересекает ее в одной точке.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, значит они являются параллельными.
Параллельные плоскости перпендикулярны одной и той же прямой.

Уравнения плоскости

Общий вид Плоскость может быть задана уравнением первой степени:

Ax + By + Cz + D = 0

Примечание: A, B и C могут равняться нулю, причем одновременно.

Уравнение в отрезках Допустим есть плоскость, которая пересекает координатные оси Ox, Oy и Oz в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, c). В этом случае ее уравнение имеет вид:

Плоскость, проходящая через точку, перпендикулярно вектору нормали Если мы знаем координаты точки плоскости, например, M (x₀, y₀, z₀), а также вектора нормали плоскости, допустим, n = {A; B; C}, то уравнение можно задать формулой:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой Если известны координаты трех точек, принадлежащих одной плоскости, например, A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂) и C (x₃, y₃, z₃), то ее уравнение будет таким:

Показать полностью

Просмотр содержимого документа
«Лекция 4. "Параллельность плоскостей".»

Параллельность плоскостей. Основные понятия и определения.

Электронный курс лекций

«Математический анализ»

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2015

Параллельность плоскостей

Расположение плоскостей в пространстве.

α и β совпадают

α  β

α  β

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Плоскости

Пересекаются

Параллельны

α || β

α ∩ β

Признак параллельности плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

а  α; в  α; а∩в=М;
а 1  β; в 1  β;
а║а 1 ; в║в 1
Доказать,
что α || β

b 1

а 1

М 1

Доказательство от противного

а  α; а 1  β; а║а 1  а║β

в  α; в 1  β; в║в 1  в║β

Пусть α ∩ β = с
Тогда
а || β , α ∩ β = с  а || с.
b || β , α ∩ β = с  b || с.

а ∩ в=М; а║с; и в║с  а|| b

Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b , параллельные прямой с.
Предположение α ∩ β = с - неверно

а 1

b 1

М 1

Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?

а  α; а 1  β; а║а 1  а║β; в  α;

в 1  β; в║в 1  в║β

Признак параллельности прямой и плоскости

Пусть α ∩ β = с

Делаем предположение, противное заключению

Тогда

а || β , α ∩ β = с  а || с.

b || β , α ∩ β = с  b || с.

Теорема о линии пересечения плоскостей

а ∩ в=М; а║с; и в║с  а|| b

Теорема о параллельности трех прямых в пространстве

Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b , параллельные прямой с.

Теорема о параллельных прямых

Предположение

α ∩ β = с - неверно

Делаем вывод, α || β

Задача № 51. (еще один признак параллельности)

Дано: т ∩ п = К, т Є α , п Є α ,

т || β , п || β .

Доказать: α || β .

α ∩ β = с

1) Допустим, что ___________

п || β , т || β

2) Так как __________________,

то ______________________.

т || с и п || с

Получаем, что

______________________________________________________.

через точку К проходят две прямые параллельные прямой с.

Вывод:

α || β

Задача № 53. Дано: отрезки А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А 1 В 1 С 1 ║А 2 В 2 С 2 .

Доказательство:

А 1 А 2 , и В 1 В 2 лежат в одной плоскости по следствию из А 1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

А 1 В 1 А 2 В 2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А 1 В 1 ║ А 2 В 2

Аналогично А 1 А 2 , и С 1 С 2 лежат в одной плоскости. А 1 С 1 А 2 С 2 - параллелограмм.

Отсюда, А 1 С 1 ║ А 2 С 2

А 1 В 1 ∩ А 1 С 1 =А 1 ; А 2 В 2 ∩ А 2 С 2 = А 2 .

По признаку параллельности плоскостей А 1 В 1 С 1 ║А 2 В 2 С 2 .

С 1

А 1

В 2

В 1

А 2

С 2

Отвечаем на вопросы

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости  . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости  . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости  ?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости  , то и третья сторона параллельна плоскости  ?

Проверяем свою работу

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости  . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости  . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости  ? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости  , то и третья сторона параллельна плоскости  ? Да

Свойства параллельных плоскостей.

Если две параллельные плоскости

пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Дано:

α  β, α   = a

β   = b

Доказать: a  b

Доказательство:

1. a   , b  

2. Пусть a  b ,

тогда a  b = М

3. M  α , M  β

 α  β = с (А 2 )

Получили противоречие с условием.

Значит a  b ч. т.д.

Свойства параллельных плоскостей.

Отрезки параллельных прямых,

заключенные между параллельными

плоскостями, равны.

Дано:

α  β, АВ  С D

АВ  α = А, АВ  β = В,

С D  α = С, С D  β = D

Доказать: АВ = С D

Доказательство:

1. Через АВ  С D проведем 

2. α  β, α   = a , β   = b

3.  АС  В D ,

4. АВ  С D (как отрезки парал. прямых)

5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)

 АВ = С D ( по свойству параллелограмма)

№ 55 ( еще одно свойство )

Если прямая а пересекает плоскость , то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости .

№ 55

Решение задачи № 58.(еще одно свойство)

Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей и , то она пересекает и другую плоскость.

Дано:

α  β, α пересекается с γ ( рис)

Доказать: β пересекается с γ

Доказательство:

Пусть γ пересекает α по прямой а .

Проведем в плоскости γ прямую b , пересекающую α .

Прямая b пересекает α , поэтому она пересекает параллельную ей плоскость β (задача № 55).

Следовательно, и плоскость γ , в которой лежит прямая b , пересекает плоскость β .

Решите задачи и проверить.

АВВ 1 А 1 – параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АВ = А 1 В 1. Ч.т.д. Доказательство: Проведем плоскость γ ч/з пересекающиеся прямые а и b : γ∩α = АВ, γ∩β =А 1 В 1 . По свойству 1: АВ || А 1 В 1 . Ч.т.д. 18 18 " width="640"

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник АВВ 1 А 1 : АВ || А 1 В 1 (по свойству 1) , АА 1 || ВВ 1 ( АА 1 ϵ а, ВВ1 ϵ b , а ||b ), = АВВ 1 А 1 – параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АВ = А 1 В 1. Ч.т.д.

Доказательство:

Проведем плоскость γ ч/з пересекающиеся прямые а и b : γ∩α = АВ, γ∩β =А 1 В 1 .

По свойству 1: АВ || А 1 В 1 . Ч.т.д.

АВ=10, ОВ 1 = 2,4. 4 18 18 " width="640"

Доказательство:

По свойствам 1 и 2 четырехугольники АСС 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , АВВ 1 А 1 – параллелограммы. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 , АВ=А 1 В 1 , тогда ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1 . Ч.т.д.

Решение:

АВ || А 1 В 1 по 1 свойству

Рассмотрим ∆АОВ и ∆А1ОВ1: они подобны по первому признаку подобия. Из этого следует: ОА/ОА 1 =ОВ/ОВ 1 =АВ/А 1 В 1 , тогда 5/3=4/ОВ 1 =АВ/6 = АВ=10, ОВ 1 = 2,4.

№ 60

Признак параллельности трех плоскостей

Если две плоскости и параллельны плоскости , то плоскости и параллельны.

Признак 3

Отрезок С D лежит в плоскости . Концы отрезка ЕМ лежат на параллельных плоскостях и . Постройте линии пересечения плоскостей ЕС D , ЕМС и ЕМ D с плоскостью .

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

Концы отрезков АВ и С D лежат на параллельных плоскостях

и . Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостью и плоскости В DC с плоскостью .

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

Отрезки АВ и С D лежат соответственно в параллельных плоскостях и . Что можно сказать о взаимном расположении прямых А D и ВС?

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

А D BC

Плоскости и параллельны, прямые a и b пересекаются в точке М. Прямая a пересекает плоскости и соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает плоскость в точке А 1 .

Постройте точку

пересечения

прямой b с

плоскостью .

Поясните.

A 1

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

B 1

Плоскости и параллельны, a II a 1 . Прямая a пересекает

и соответственно в точках А и В, а прямая a 1 пересекает плоскость в точке А 1 . Постройте точку пересечения a 1 с плоскостью . Поясните.

a 1

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

A 1

B 1

Плоскости и параллельны, прямая a пересекает плоскости и соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает – в точках С и D . Найдите взаимное положение прямых a и b . Поясните.