Новый сезон международных олимпиады для учителей, учеников и дошкольников стартовал. 164 олимпиады по 27 предметам ждут вас...

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Был в сети 12.06.2019 14:06

Приходько Юрий Владимирович

учитель

49 лет

15 127

1 893

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Жуковка

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Лекция "Непрерывность функции"

Категория: Алгебра

17.03.2018 09:23

методическая разработка лекции на тему "непрерывность функции"

Просмотр содержимого документа
«Лекция "Непрерывность функции"»

Непрерывность функции

1. Непрерывность функции в точке.

1 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, принадлежащей области определения функции, если для любого положительного числа ε существует такое положительное δ, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнено неравенство

2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Равенство означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке.

Условие непрерывности функции в точке: если односторонние пределы функции в точке х₀ существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х₀, следовательно, функция в точке х₀ будет непрерывна.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Случаи появления разрывов	Рисунок
1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.
2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀.
3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, предел функции в точке х₀ существует, но этот предел не равен значению функции в точке x₀.

2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке односторонние пределы существуют, конечны и не равны. График функции в этой точке претерпевает «скачок» равный разности между правым и левым пределом функции в этой точке.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность.

пример	Вид разрыва	Рисунок
	точка х₀ =2 называется точкой конечного разрыва
	точка х₀=0 называется точкой устранимого разрыва. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной
	x₀=2 -точка разрыва второго рода.

3. Непрерывность функции через приращения функции и аргумента.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х₀) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀)

3 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.