Лекция "Определители"

Квадратной матрице    -го порядка ставиться в соответствие

число , называемое определителем

матрицы или детерминантом.

Вычисление определителей первого порядка.
Матрица размера   это просто число. Определителем такой матрицы является само это число.
Пример:

Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
Пример:
.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:

Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.
Пример:
Вычислить определитель:
….

Ответ: 108

Решить определитель 3 порядка можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения

Свойства определителей:

(Замечание. Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.)

1°    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: 

Пример

Известно, что определитель матрицы   равен 3. Тогда определитель матрицы   , которая равна  , также равен 3.

2°    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3°    

То есть, если квадратная матрица    -го порядка умножается на некоторое ненулевое число  , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы   на число   в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы   третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы   .

Решение. По свойству 

Ответ. 

4°    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5°    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6°    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7°    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8°    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9°    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка   . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10°    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11°    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 

Контрольные вопросы:

1. Что называют определителем матрицы?

2. Как вычислить определитель первого порядка?

3. Как вычислить определитель второго порядка?

4. Как вычислить определитель третьего порядка?

5. Какими свойствами обладают определители?