Россия, Балаково
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 14.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.10.2022 17:18
Водяхина Наталья Владимировна
Преподаватель математики
7 784
5 992 
Местоположение
Специализация
Лекция по теме геометрический и физический смысл производной
Категория:
Математика
28.10.2021 08:10
Просмотр содержимого документа
«Лекция по теме геометрический и физический смысл производной»
СВ 210 на 28.10.21 г. законспектировать лекцию и выполнить задания. Прислать на почту: nata.vodiahina2014@yandex.ru
Тема: Физический (механический) и геометрический смысл производной
1. Скорость.
Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка. Ее движение описывается законом S=S(t), где S(t)- координата точки на прямой в момент времени t.
Под средней скоростью движения за некоторый промежуток времени в физике понимают отношение перемещения к промежутку времени, т.е. средняя скорость за промежуток времени от t1 до t2 выражается равенством
или 
Мгновенная скорость - это средняя скорость движения за очень маленький промежуток времени 
Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скорости движения за промежуток времени при условии 
Физический (механический) смысл производной состоит в том, что если S(t)- закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
2. Ускорение
Так как ускорение есть скорость изменения скорости, то
,
или
где 
- производная второго порядка функции S(t).
Производная второго порядка – это производная от производной.
Ф
изический (механический) смысл производной второго порядка состоит в том, что если S(t)-закон линейного движения тела, то производная второго порядка выражает ускорение в момент времени t.
Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
Ответ: скорость точки равна 16 м/с.
Задача 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Найдите ускорение точки в конце второй секунды.
Решение:
Ответ: ускорение равно 96 м/с2.
Геометрический смысл производной
1. Определение касательной.
Касательная – это предельное положение секущей.
2. Угловой коэффициент прямой.
k - угловой коэффициент прямой.
k=tg
Прямые y=k1 x+b2 и у=k2x+в2.
параллельны, если k1=k2
3. Геометрический смысл производной.
Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=х0 можно провести касательную, непараллельную оси Оу, то значение производной в точке х=х0 равно угловому коэффициенту касательной.
у
y=f(x)
0
х
4. Условие дифференцируемости функции.
Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
5.Уравнение касательной.
Алгоритм составления уравнения касательной:
-
Обозначить абсциссу точки касания
. -
Вычислить
. -
Найти
. -
Вычислить
. -
Подставить значения
в формулу.
Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х = 1.
Решение.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Ответ: у = 3х + 3.
Пример 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = х3 в точке с абсциссой х = 2.
Решение.
Ответ: 12.
Домашнее задание (самостоятельно!)
Физический (механический) смысл производной
| Учебные элементы | Задания обучающей самостоятельной работы | Рекомендации к выполнению заданий |
|
2. Ускорение
3. Скорость
| 1. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 5t – 0,5t2 (м), где – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2с. после начала движения. 2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12t – 3t2(м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится? 3. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 0,5t2 + 3t + 2(м), где – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с? 4. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 4t3 - (м), Найдите ускорение точки в конце первой секунды. 5. Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m = 5 кг, движущуюся прямолинейно по закону S = 2t2 - 1 в момент времени t = 2c.
6. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = 2,5t2 – 6t + 1, S2 = 0,5t2 + 2t -3. В какой момент времени скорости их равны?
7. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = t2 – 6t + 2, S2 = 4t + 5. В какой момент времени скорость первой точки в два раза больше скорости второй?
| Алгоритм решения: 1). S/(t) 2). S/(2) 3). V =
Скорость тела в момент остановки равна нулю.
V(t) = S/(t) V(t) = 15
a(t) = V/(t)
Из физики известно, что F = ….
Составьте уравнение V1(t) = V2(t)
V1 = 2V2
|
1. Скорость
Геометрический смысл производной.
| Учебные элементы | Задания обучающей самостоятельной работы | Рекомендации к выполнению заданий |
|
2. Угол между касательной и осью Ох.
3. Уравнение касательной | 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х = а, если
а) f(x) = x3 – 2x2 +3 , a = -1. б) f(x) = 5sin x, a = 0. в) f(x) = , a = 1.
2. Дана функция f(x) = 5 + 4x – 3x2. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5.
3. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции y = h(x) в точке с абсциссой x0 и осью Ох
а) h(x) = x6 – 4x, x0 = 1. б) h(x) = , x0 = . в) h(x) =, x0 = . г) h(x) = , x0 = 0,5.
4. Определите, какой угол образует с осью Ох касательная, проведённая к графику функции f(x) = в точке с абсциссой х = .
5. Какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции
а) f(x) = 4 + x2, проведённая в точке с абсциссой х = 2.
6. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если а) f(x) = x2, a = 3; б) f(x) = 2 – x – x3, a = 3; в) f(x) = a =
| k = f/(a)
x0 найдите из уравнения f/(x0) = k. y0 = f(x0) ( x0; y0) - искомая точка.
tg α = h/(x0)
Если tg = a, то
Если tg 0, то .
Если tg 0, то .
Смотри пример 1.
|
1.Угловой коэффициент касательной
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
