Лекция по теме: "Тела вращения"

Тела вращения

Мир - это сфера, центр

которой повсюду,

а окружности нет нигде.

Б. Паскаль

Урок по теме : «Тела вращения» (с использованием компьютерной техники).

Цель урока : научить обобщать полученные знания и применять изученный материал к решению задач; способствовать развитию логического мышления и развитию пространственного воображения; научить находить сходства и различия между стереометрическими фигурами и уметь пользоваться найденными сходствами.

Оснащение: проектор, экран, ноутбук, тетради, ручки, линейки, карандаши.

Цилиндр

• Цилиндр -
• Цилиндр -
• Цилиндр -

Даны три определения цилиндра. Эти определения не носят строгий математический характер, но с их помощью можно проследить зависимость между геометрическими фигурами. А также данные утверждения помогут вывести необходимые формулы поверхностей, объема цилиндра и рассмотреть основные сечения цилиндра.

Учащиеся подбирают тела, для которых подходят данные определения. Так вводится понятие прямого кругового цилиндра и приводятся примеры других цилиндров из окружающих нас фигур. На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. Ребята в тетрадях пытаются изобразить эти фигуры. Например, цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченной параболой и отрезками. При этом они вспоминают изображение параболы и ее свойства. Или цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие не перпендикулярны к плоскостям оснований.

Элементы цилиндра

• Основания.
• Образующие.
• Высота.
• Ось.
• Радиус.

На данном слайде рассмотрены основные элементы цилиндра. Учителем проводится аналогия с элементами призмы. Рассматриваются новые понятия для тел вращения: ось, образующая, радиус. Учащиеся должны объяснить как они понимают эти элементы и найти аналоги в окружающем мире.

Рассматриваются свойства образующих: все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, которые содержат основания. При этом повторяется свойства параллельных плоскостей.

Площади поверхностей и объем цилиндра

• Полная поверхность цилиндра

S полн = 2  R(R+H)

• Боковая поверхность цилиндра

S бок = 2  RH

• Объем цилиндра

V =  R 2 H

Н

На слайде изображена развертка цилиндра. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости. В результате в этой плоскости получится прямоугольник. Одна сторона которого является разверткой окружности основания цилиндра, а другая - образующей цилиндра, по которой можно вычислять высоту цилиндра. За площадь боковой поверхности принимается площадь ее развертки.

Площадь полной поверхности цилиндра и объема вычисляется с помощью соответствующих формул призмы. Учащиеся эти выводы записывают в тетрадях самостоятельно.

Длина окружности 2  R

Задача

Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода, если плотность алюминия 2,6 г/см 3

На данном слайде дается задача, для решения которой необходимы знания не только знание математических формул, но некоторых формул из курса по физике. Если формулу нахождения объема с помощью массы и плотности материала нет возможности найти непосредственно на уроке, то показать как можно вспомнить формулу с помощью единиц измерения данных величин. Решение задачи записывается в тетрадях.

Сечения цилиндра

Сечение параллельное оси

Осевое сечение

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями.

1. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого - образующие, а две другие - диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

2. Если провести сечение параллельно оси, то в сечении получим тоже прямоугольник.

3. Если секущая плоскость параллельна основаниям, то сечение является кругом. Такая плоскость отсекает от рассматриваемого цилиндра тело, также представляющее собой цилиндр (объяснить почему). Основаниями этого цилиндра служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Задание на дом: построить другие виды сечений цилиндра

Параллельное основаниям

Конус

• Конус - это тело, которое состоит из ___________________________________________
• Конус - это _________________, в основании которой лежит круг.
• Конус - это тело, полученное путем вращения____________________________________________________________________

На данном слайде учащимся предоставляется возможность самостоятельно дать определения конуса, опираясь на полученный опыт описания и сравнения цилиндра.

Элементы конуса

• Вершина.
• Образующие.
• Ось.
• Высота.
• Радиус.
• Основание.

Рассматриваются элементы конуса.

Находим общие элементы с пирамидой и цилиндром.

Предлагается объяснить почему все образующие равны друг другу и вспомнить что есть расстояние от точки пространства до плоскости для определения высоты конуса

Площади поверхностей и объем конуса

• Полная поверхность конуса

S полн =  R(R+L)

• Боковая поверхность конуса

S бок =  RL

• Объем конуса

V = 1/3  R 2 H

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса. (сначала предлагается учащимся вспомнить, как называется часть круга). За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Площадь полной поверхности и объема конуса выводится с помощью формул пирамиды.

Сечения конуса

Осевое сечение

Сечение, проходящее через вершину и хорду

Рассмотрим сечения конуса различными плоскостями.

1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Это сечение называется осевым.

2. Если сечение проходит через вершину конуса и хорду основания, то в сечении получится тоже равнобедренный треугольник. (вспомнить, что есть хорда)

3. Если секущая плоскость параллельна основанию, то сечение конуса представляет собой круг. Эта плоскость разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом . Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.

Сечение, параллельное основанию

Сфера

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы.

S = 4  R 2

На этом слайде дается определение сферы. Проводится аналогия с определением окружности

Шар

Тело, ограниченное сферой, называется шаром .

Центр и радиус сферы называются центром и радиусом шара.

Шар содержит все точки пространства, которые расположены от центра на расстоянии, не превышающем радиус, и не содержит других точек.

V = 4/3  R 3

Обсуждается отличие сферы от шара. Приводятся примеры из окружающего мира.

Касательная плоскость к сфере

• Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
• Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Даются прямая и обратная теоремы о касательной плоскости.

Вспомнить похожую теорему из курса планиметрии.

Рассматривается взаимное расположение сферы и плоскости. Исследуется это расположение в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстояние от ее центра до плоскости.

Задача

Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.

Решение данной задачи развивает интеллектуальный уровень студентов и закрепляет знание формул объема шара.

Заключение . Данный раздел стереометрии соединяет наглядные пространственные представления со строгой логикой, способствуя развитию логического мышления.

«Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга. Воображение дает непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придает точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи». Эти слова принадлежат известному математику, автору учебников по геометрии А. Д. Александрову.