Лекции по математике

Лекция 3

Комплексные числа

1 Мнимая единица. Понятие комплексного числа.

Для решения многих задач физики, электротехники и других наук оказалось недостаточно множества действительных чисел. Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

x ² =  a ,

где  а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:

Здесь возможны три случая:

Тогда для уравнения  x ² = – 25  мы получаем два мнимых корня:

Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество.

В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами.

Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i ,

  где  a, b  –  действительные числа,  i  –  мнимая единица (а – действительная часть комплексного числа, bi – мнимая часть комплексного числа).

Число  a называется абсциссой,   b – ординатой комплексного числа  a+ bi.

П р и м е р ы   комплексных чисел:    3 + 4 i ,   7 – 13.6 i ,   0 + 25 i = 25 i ,  2 + i.

Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Противоположными комплексными числами называются числа a+ bi и –a – bi.

Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел.

Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая  D D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Основные договорённости:

1. Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа: 

a+ 0 i  или  a – 0 i.  Например, записи  5 + 0 i  и  5 – 0 i  означают одно и то же число  5 .

  2.  Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

1. Два комплексных числа  a+ bi и c+ di считаются равными, если  a = c и b = d. В противном случае комплексные числа не равны.

2 Алгебраические действия над комплексными числами 

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число

( a+ c ) + ( b+ d )i:

(a+ bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d)i

Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

  Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d)i:

(a+ bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

  Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число: ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i .

(a+ bi) ∙ (c + di) =(ac – bd) + (ad + bc)i .

Это определение вытекает из двух требований:

   1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

  П р и м е р:  ( a+ bi )( a – bi )= a ² + b ². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному    положительному числу.

  Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi, т.е.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р:  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:  

            Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3i  и выполнив все преобразования, получим:

3 Геометрическое представление комплексных чисел

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой: 

х

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и  O  – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.1). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Рисунок 1 – Комплексная плоскость

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен:

  Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.                __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tg = b / a . 

4 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент :

Вопросы для самоконтроля

1. Какие числа называются комплексными и мнимыми?

2. Как геометрически представляется комплексное число?

3. Что называется модулем комплексного числа?

4. Как выполняется сложение и вычитание комплексных чисел?

5. Как выполняется умножение комплексных чисел?

6. Как выполняется деление комплексных чисел?

7. Какие комплексные числа называются сопряженными?

8. Какие комплексные числа называются противоположными?

3

Лекция 4

Приближенное значение величины и погрешности приближений

1 Приближенное число. Правило округления чисел.

Система рациональных чисел Q является основной системой, в рамках которой производятся практические арифметические вычисления. Даже если в вычислениях встречаются числа, не являющиеся рациональными (например, π, _) желание представить результат вычисления рациональным числом приводит к необходимости брать их приближенные рациональные значения. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые – приближенными. Точное число абсолютно. Приближённое число имеет погрешность. Форма записи не

влияет на точное число. Точное число 2 можно записать так: 2; 2,0; 2,00; 2,000. Эти записи обозначают одно и то же. Принципиально иная картина с записью приближённого числа 2: записи ≪2; ,0; 2,00; 2,000≫ неравноценны. Следовательно, чтобы правильно записать число, надо понимать, с какими числами — точными или приближёнными — мы имеем дело.

Приближенное число – это такое число, которое отличается от точного числа на погрешность (ошибку), допущенную в соответствии с условиями данной задачи и заменяет точное число в расчетной формуле.

Очевидно, самая большая проблема будет состоять в определении характера чисел, указанных в условии задачи. Мы имеем основания считать их приближёнными числами. Эти числа — результат измерений физических величин. А поскольку любое измерение можно провести с ограниченной точностью, то и точность чисел будет ограниченна. С этим можно не соглашаться. Но принятие этой или иной точки зрения повлечёт определённые последствия, влияющие на ответ задачи. Числовые значения, указанные в справочниках, — всегда приближённые числа. Числовые значения, полученные в результате вычислений, могут быть как точными, так и приближёнными. Очевидно, если хотя бы одно число приближённое, в результате не может быть получено точное число. В тоже время не всегда результат вычисления двух точных чисел — точное число. Например, частное от деления единицы на три — бесконечная дробь, после округления, которой получится приближённое число. Например, числа π и е — приближённые. Числовые значения величин, принадлежащие множеству натуральных чисел: число частиц, количество процедур и др., — точные числа.

Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. 

Рассмотрим понятие значащих цифр – это все верные цифры, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,035 значащими цифрами являются 3 и 5.

Истинное значение числа отличается от приближенного с учетом правил округления:

1. лишние цифры в младших разрядах отбрасываются, причем сохраняются только значащие цифры;

2. если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая увеличивается на 1;

3. если отбрасывается только одна цифра 5, то последняя сохраняемая цифра берется обычно четной.

Главная проблема в приближенных вычислениях – оценить погрешность вычисления. Различают абсолютную и относительную погрешность.

2 Абсолютная погрешность

Пусть диаметр болта, измеренный штангенциркулем, оказался равным 14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в «идеальное» отверстие того же диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен в чисто ”математическом“ виде, то ответ был бы утвердительным. На практике может получится иначе. Диаметр равный 14 мм был получен с помощью реального прибора, у которого есть погрешности. Так что было бы правильней говорить, что мы получили приближенное значение диаметра. Каково же его истинное значение? На этот вопрос ни один человек не сможет дать ответ. Максимально, что можно сделать в этой ситуации, это указать границы около приближенного результата, внутри которых находится истинное значение диаметра. Эта граница называется границей абсолютной погрешности.

Пусть х – точное число, а его приближенное значение а.

Абсолютной погрешностью α называется модуль разности между точным числом х и его приближенным значением а.

_ = α

Абсолютная погрешность числа не превосходит единицы последнего разряда числа.

Число ∆а называется границей абсолютной погрешности приближенного числа, если выполняется неравенство _ ≤ ∆a.

Граница абсолютной погрешности может быть записано с помощью двойного неравенства:

a – ∆a ≤ x ≤ a + ∆a.

Тогда точное число записывается следующим образом:

x = a ± ∆a.

Таким образом, абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения.

Пример 1. Площадь квадрата равна 24,5 ± 0,5 (см²). Найти границы измерения площади квадрата.

Решение. Запишем границы абсолютной погрешности измерения площади квадрата с помощью двойного неравенства:

24,5 – 0,5 ≤ х ≤ 24,5 + 0,5;

24,1 ≤ х ≤ 24,9 (см²).

Пример 2. Найти абсолютную погрешность числа, если точное число равно 245,2, а его приближенное значение 246.

Решение. Применяем формулу для вычисления абсолютной погрешности

_ = α,

где приближенное значение а = 246, а точное число х = 245,2.

Тогда α = _ = 0,8.

3 Относительная погрешность

Допустим, что погрешность какого-то измерения равна 0,2. Если с такой точностью измерили длину тетради, то это большая погрешность, а если длину комнаты, то небольшая.

Таким образом, имеет значение не только какова погрешность, но и отношение ее к измеряемой величине.

Относительной погрешностью δ приближенного значения числа х называется отношение абсолютной погрешности α этого приближения к числу а.

δ = _.

Границей относительной погрешности ε приближенного значения а называется отношение границы абсолютной погрешности ∆a к модулю числа а.

ε_а = _.

Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений или вычислений. Относительная погрешность – безразмерная величина и поэтому может быть выражена в процентах:

ε_а = _ ∙100%

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

∆a = ∣a∣∙ε_а

Пример 1. В результате измерений получили, что длина карандаша равна 16 см, а длина комнаты 730 см. Что можно сказать о качестве этих двух измерений?

Решение. Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной ± 0,5 см.

Тогда

δ = _ = 0,0312 ≈ 3,1%;

δ = _ = 0,000685 ≈ 0,07%.

Ответ: качество измерений длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша.

Пример 2. Найти границу абсолютной погрешности числа а = 1348, если граница относительной погрешности равна ε_а = 0,04%.

Решение. Применяем формулу ∆a = ∣a∣∙ε_а и производим вычисления

∆а = 1348∙_ = 0,539 ≈ 0,5.

Пример 3. Вычислить относительную погрешность числа π = 3,14, считая π = 3,1416.

Решение. Вначале, найдем границу абсолютной погрешности приближенного числа π = 3,14, используя формулу α = ∣х – а∣, (где точное число х = 3,1416, его приближенное значение а = 3,14). Тогда,

α = ∣3,1416 – 3,14∣ = 0,0016.

Далее пользуемся формулой для определения относительной погрешности приближенного числа δ = _ и получаем δ = _ = 0, 0005.

4 Правила записи приближенных чисел

Значащими цифрами десятичной дроби называют все её цифры, кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля цифры.

Значащими цифрами целого числа называют все его цифры, кроме нулей, расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных чисел.

Например, числовое значение массы 12 450 имеет пять значащих цифр, если все цифры известны, и четыре, если последний нуль стоит взамен неизвестной цифры. Количество значащих цифр важно для оценки точности числа. Чем больше указано значащих цифр, тем точнее приведено числовое значение величины. Так, точность числа 1,005 дана до тысячных, а точность числа 12 450 — либо до десятков, либо до единиц.

Верной называют некоторую цифру приближённого числа а, если её абсолютная погрешность меньше пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой, или равна им.

Все числа, помещённые в таблицах, имеют все верные цифры, если не указано что дополнительно. Например, в числовом значении плотности раствора 1,150 г/мл имеются четыре значащие цифры, три десятичных знака, все цифры этого числа верные.

Сомнительными называют все цифры приближённого числа, расположенные правее последней верной цифры.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемые в расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа все цифры должны быть верными.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного числа?

2. Что называется границей абсолютной погрешности?

3. Что называется относительной погрешностью приближенного числа?

4. Что называется границей относительной погрешности приближенного числа?

5. Как связаны границы абсолютной и относительной погрешностей?

6. Какие цифры называются значащими, верными, сомнительными?

2

Лекция 5

Приближенные вычисления

Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем:

1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

2. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых.

3. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.

4. Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как у целых, так и для дробных n).

1. Граница абсолютной погрешности суммы (разности) приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

∆(а ± b) = ∆а + ∆b.

1. Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле:

_.

1. Граница относительной погрешности разности вычисляется по формуле:

_.

1. При умножении или делении  чисел  друг на друга их относительные погрешности складываются:

δ_{а · b} = δ_а + δ_b; δ_{а / b} = δ_а + δ_b

1. При возведении в степень  приближённого   числа  его относительная погрешность умножается на показатель степени:

δ _(а ^k₎ = k∙δ_а.

Вопросы для самоконтроля

1. Как вычисляется граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений?

2. Как вычисляется граница относительной погрешности суммы приближенных значений?

3. Как вычисляется граница абсолютной погрешности разности приближенных значений?

4. Как вычисляется граница относительной погрешности разности приближенных значений?

5. Как вычисляется граница относительной погрешности произведения и частного приближенных значений?

6. Как вычисляется граница относительной погрешности степени приближенных значений?

1

Лекция 6

Линейные уравнения с одной переменной

1 Уравнения и тождества

Если два выражения (числовые и / или буквенные), соединены знаком « = », то говорят, что они образуют равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством. 

П р и м е р ы:  1)  Числовое равенство  4 · 7 + 2 = 30  есть тождество.

                              2)  Буквенное равенство ( a + b )( a – b ) = a² – b² есть  тождество, потому что оно справедливо при  всех значениях содержащихся в нём букв.

  Уравнение – это буквенное равенство, которое справедливо (т.е. становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него букв.

Эти буквы называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество –  корнями уравнения.

Процедура нахождения всех корней уравнения называется  решением. Решить уравнение – значит найти все его корни. Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

  П р и м е р:  Уравнения  5x – 25 = 0 и 2x – 7 = 3 являются равносильными, так как они имеют один и тот же корень:   x = 5 .

2 Линейные уравнения с одной переменной

Равенство с одной переменной называется уравнением с одной переменной, если нужно найти те значения переменной, при которых получается верное числовое равенство.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида

ах + b = 0,

где а и b – действительные числа.

Корнем (или решением) уравнения называются значения переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение линейных уравнений основано на следующих теоремах:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получиться уравнение равносильное данному.

Линейное уравнение ах + b = 0, может иметь только одно решение, или совсем не иметь решения, или иметь бесконечное множество решений:

1. Уравнение 5х + 4 = 0 имеет единственное решение х = -5/4.

2. Уравнение 3х = 0 имеет единственное решение х = 0.

3. Уравнение 0х + 2 = 0 не имеет решения, так как при любом значении х произведение 0х=0 и 0 + 2 ≠ 0.

4. Уравнение 0х = 0 имеет бесконечное множество решений, так как любое число является решением этого уравнения.

Если  a не равно нулю (a ≠ 0), то решение (корень) уравнения имеет вид:

Если  a = 0, то возможны два случая: 

1.  b = 0, тогда  0 · x + 0 = 0. Здесь  x  может быть любым числом.

2  b ≠ 0, тогда  0 · x + b = 0. Здесь нет решений.

3 Решение уравнения с одной переменной

Пример: Решить уравнение _

Перемножим накрестлежащие выражения:  x² + 2x = x² – 2x +  x – 2 . Перенесём

все члены в левую часть уравнения. После приведения подобных членов получим:  3x + 2 = 0, откуда  x = – 2 / 3 .

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение уравнения с одной переменной.

2. Как записывается в общем виде линейное уравнение с одной переменной?

3. Что называется корнем уравнения?

4. Сформулируйте теоремы, на основании которых решаются линейные уравнения.

3