Дидактический материал для учащихся с ОВЗ по математике 9 класс

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

1. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни х₁ и х₂, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c нельзя разложить на множители.

3. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть один корень х₁, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители:

ax² + bx + c = a(x – x₁)².

Следующие квадратные трёхчлены разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² – 5х + 2, 2) 9х² + 6х + 1, 3) х² – 2х + 3.

Решение: 1) Рассмотрим уравнение 2х² – 5х + 2 = 0, D = b² – 4ac = (-5)² - 4∙2∙2 =

= 25 – 16 = 9 0, x₂ = 2. Значит,

2х² – 5х + 2 =

2) 9х² + 6х + 1 = 0, D = 6² – 4 ∙ 9 = 0, .

9х² + 6х + 1 = .

3) х² – 2х + 3 = 0,D = (-2)² – 4∙3 = 4 – 12 = - 8 нет корней. Значит, трёхчлен х² – 2х + 3 нельзя разложить на множители.

Разложить на множители, если это возможно:

1) 3х² + 5х – 8,

2) х² + 5х + 10,

3)7х² – 14х + 7,

4) - х² + 3х + 4,

5) 4(х – 1)² – 16х.

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Построить параболу у = ах² + bx + c можно так:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле ;

2) найти ординату вершины параболы по формуле или по формуле у₀ = ах₀² + bx₀ + c ;

3) в координатной плоскости построить точку (х₀;у₀) – вершину параболы;

4) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих параболе слева или справа от вершины и отметить их в координатной плоскости и симметричные точки относительно оси параболы ( прямая х = х₀).

Построить график функции

у = -0,5х² + х – 4.

1)

2) у₀ = -0,5∙ 1² + 1 – 4 = -3,5;

3)

4) ось параболы х = 1; симметричные точки (2;4), (3;-5,5), (4;-8).

5) отмечаем в координатной плоскости вершину параболы и эти точки, затем соединяя их плавной линией.

Построить графики:

1) у = х² + 5х – 6,

2) у = х² + 5х,

3) у = -х² + 7,

4) у = х² + 2х + 1,

5) у = х² + х + 1.

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если одно из уравнений в системе стоит в первой степени, то можно решить эту систему способом подстановки, выразив из этого уравнения какое – либо неизвестное и подставив во второе уравнение полученное выражение и продолжая далее решение.

Решить систему:

Решение: Уравнение х + у = 7 первой степени (линейное). Поэтому х = 7 – у.

Подставляем это выражение в первое уравнение вместо х: (7 – у)² + у² = 25,

49 – 14у + у² + у² = 25, 2у² – 14у + 24 = 0,

у² – 7у + 12 = 0; у₁ = 3, у₂ = 4. Подставляем у₁ и у₂ в уравнение х = 7 – у: х₁ = 7 – 3 = 4, х₂ = 7 – 4 = 3.

Ответ: (4;3), (3;4).

Решить системы:

1)

2)

3)

4)

5)

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом:

a _{п +1} = а_п + d.

Формула п-го члена арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n – 1).

Заполнить таблицу

Решение: 1) а_п = а₁ + d(n – 1), а₅ = -2 + 3∙4 =10; a _{п +1} = а_п + d, а₆ = а₅ + d = 10 + 3 = 13.

2) а_п = а₁ + d(n – 1), 21 = 7 + 2(n – 1),

21 =7 + 2n – 2, 2n = 21 – 7 + 5 = 16, n = 8, a₉ = 21 + 2 = 23.

3) a _{п +1} = а_п + d, 9 = 11 + d, d = 9 – 11, d = -2.

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Заполнить таблицу

Решение: 1)

2)

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число:

b_{n+ 1} = b_n∙ q.

Формула п-го члена геометрической прогрессии:b_n = b₁∙q^n-1.

Заполнить таблицу

Решение: 1) b_n = b₁∙q^n-1, b₅ = –2∙3⁴ = =–2∙81 = –162; b_{n+ 1} = b_n∙ q, b₆ = b₅∙q = = –162∙ 3 = –486.

2) b_n = b₁∙q^n-1, 56 = 7 ∙ 2^{n -1} , 2^{n -1}=56 : 7= = 8 =2³, n – 1 = 3, n = 4; b₅ = 56 ∙ 2 = =112.

3) b_{n+ 1} = b_n∙ q, 9 = –18 q, q =– 0,5.

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если q ≠ 1, то сумму п первых членов геометрической прогрессии можно найти по формулам:

.

Если q = 1, то S_n = b₁n.

Найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый равен –56.

Решение:

Найдём q: b₄ = –56; b₁q³ = –56 ; 7q³ = –56;

q³ = –8; q = –2.

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если У неё ( при бесконечном увеличении числа членов) , называемому суммой прогрессии и вычисляется по формуле:

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6.

Решение:

b₁= 6,6.

Заполнить таблицу

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

1. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни х₁ и х₂, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c нельзя разложить на множители.

3. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть один корень х₁, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители:

ax² + bx + c = a(x – x₁)².

Следующие квадратные трёхчлены разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² – 5х + 2, 2) 9х² + 6х + 1, 3) х² – 2х + 3.

Решение: 1) Рассмотрим уравнение 2х² – 5х + 2 = 0, D = b² – 4ac = (-5)² - 4∙2∙2 =

= 25 – 16 = 9 0, x₂ = 2. Значит,

2х² – 5х + 2 =

2) 9х² + 6х + 1 = 0, D = 6² – 4 ∙ 9 = 0, .

9х² + 6х + 1 = .

3) х² – 2х + 3 = 0,D = (-2)² – 4∙3 = 4 – 12 = - 8 нет корней. Значит, трёхчлен х² – 2х + 3 нельзя разложить на множители.

Разложить на множители, если это возможно:

1) 5х² + х – 6,

2) 3х² + 6х + 3,

3) х² + 4х + 5,

4) 4х² – 11х – 7,

5) 5(х – 2)² – 45х.

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Построить параболу у = ах² + bx + c можно так:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле ;

2) найти ординату вершины параболы по формуле или по формуле у₀ = ах₀² + bx₀ + c ;

3) в координатной плоскости построить точку (х₀;у₀) – вершину параболы;

4) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих параболе слева или справа от вершины и отметить их в координатной плоскости и симметричные точки относительно оси параболы ( прямая х = х₀).

Построить график функции

у = -0,5х² + х – 4.

1)

2) у₀ = -0,5∙ 1² + 1 – 4 = -3,5;

3)

4) ось параболы х = 1; симметричные точки (2;4), (3;-5,5), (4;-8).

5) отмечаем в координатной плоскости вершину параболы и эти точки, затем соединяя их плавной линией.

Построить графики:

1) у = х² – х – 6,

2) у = 3х² + 6х,

3) у = -х² + 5,

4) у = 0,5х² + х + 0,5,

5) у = х² – х + 1.

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если одно из уравнений в системе стоит в первой степени, то можно решить эту систему способом подстановки, выразив из этого уравнения какое – либо неизвестное и подставив во второе уравнение полученное выражение и продолжая далее решение.

Решить систему:

Решение: Уравнение х + у = 7 первой степени (линейное). Поэтому х = 7 – у.

Подставляем это выражение в первое уравнение вместо х: (7 – у)² + у² = 25,

49 – 14у + у² + у² = 25, 2у² – 14у + 24 = 0,

у² – 7у + 12 = 0; у₁ = 3, у₂ = 4. Подставляем у₁ и у₂ в уравнение х = 7 – у: х₁ = 7 – 3 = 4, х₂ = 7 – 4 = 3.

Ответ: (4;3), (3;4).

Решить системы:

1)

2)

3)

4)

5) .

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом:

a _{п +1} = а_п + d.

Формула п-го члена арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n – 1).

Заполнить таблицу

Решение: 1) а_п = а₁ + d(n – 1), а₅ = -2 + 3∙4 =10; a _{п +1} = а_п + d, а₆ = а₅ + d = 10 + 3 = 13.

2) а_п = а₁ + d(n – 1), 21 = 7 + 2(n – 1),

21 =7 + 2n – 2, 2n = 21 – 7 + 5 = 16, n = 8, a₉ = 21 + 2 = 23.

3) a _{п +1} = а_п + d, 9 = 11 + d, d = 9 – 11, d = -2.

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Заполнить таблицу

Решение: 1)

2)

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число:

b_{n+ 1} = b_n∙ q.

Формула п-го члена геометрической прогрессии:b_n = b₁∙q^n-1.

Заполнить таблицу

Решение: 1) b_n = b₁∙q^n-1, b₅ = –2∙3⁴ = =–2∙81 = –162; b_{n+ 1} = b_n∙ q, b₆ = b₅∙q = = –162∙ 3 = –486.

2) b_n = b₁∙q^n-1, 56 = 7 ∙ 2^{n -1} , 2^{n -1}=56 : 7 = 8 =2³, n – 1 = 3, n = 4; b₅ = 56 ∙ 2 = 112.

3) b_{n+ 1} = b_n∙ q, 9 = –18 q, q =– 0,5.

Ответы:

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если q ≠ 1, то сумму п первых членов геометрической прогрессии можно найти по формулам:

.

Если q = 1, то S_n = b₁n.

Найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый равен –56.

Решение:

Найдём q: b₄ = –56; b₁q³ = –56 ; 7q³ = –56;

q³ = –8; q = –2.

Заполнить таблицу

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если У неё ( при бесконечном увеличении числа членов) , называемому суммой прогрессии и вычисляется по формуле:

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6.

Решение:

b₁= 6,6.

Заполнить таблицу