Диофантовы задачи

Диофантовы задачи

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Решение:

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок.

Решение:

Так как a+b=20, a+c=30, b+c=40, тогда, если сложить все примеры, получится, что удвоенная сумма 3-х чисел равна 90. a + b + a + c + b + c = 20 + 30 + 40; 2a + 2b + 2c = 90, отсюда a + b + c = 45;

45-20=25 (c); 45-30=15 (b); 45-40=5 (a);

Ответ: 25, 15, 5.

5, то, так как 5! + 6! + . . . + х! = 10n, можем записать, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n. Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа. Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3). " width="640"

3. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

Решение

Очевидно, что:

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х 1 = 1, у 1 = 1;

х 2 = 1, у 2 = –1;

х 3 = 3, у 3 = 3;

х 4 = 3, у 4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n, можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

4. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Решение:

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1), или х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х 1 = 0, у 1 = 0;

х 2 = 0, у 2 = –1;

х 3 = –1, у 3 = 0;

х 4 = –1, у 4 = –1.

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х 5 = 5, х 6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х 5 = 5, у 5 = 2;

х 6 = –6, у 6 = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

5. Решить в целых числах уравнение: а) 20х + 12у = 2013; б) 5х + 7у = 19;

Решение:

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x 0 = 1, y 0 = 2. Тогда

5x 0 + 7y 0 = 19, откуда

5(х – x 0 ) + 7(у – y 0 ) = 0,

5(х – x 0 ) = –7(у – y 0 ).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7k, у – y 0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

Диофантовы задачи для самостоятельного решения

1 . Решите диофантовы уравнения:

а) 2 x + 7 y = 20;

б) 6 x - 27 y = 21;

в) 11 x + 99 y = 41.

2 . Для каждого целого z решите в целых числах уравнение 2 x + 3 y = 5 z .

3 . Решите уравнение 3sin7 x + cos20 x = 4.