Фонд оценочных средств по геометрии для 10-11 классов

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «ГЕОМЕТРИЯ»

для учащихся 10-11 классов

10 класс.

Зачетное занятие 1 полугодие.

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плокости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

3. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

4. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?

5. Каково взаимное положение прямых (рис 1): A₁D и MN; A₁D и B₁C; MN и A₁B₁ ?

Рис 1

Рис 2

Рис 3

Рис 4

1. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. 1) Могут ли прямые а и b пересекаться?
   2) Могут ли прямые а и b быть параллельными?

2. Прямая а параллельна плоскости . Существуют ли на плоскости  прямые, не параллельные прямой a? Если да, то каково их взаимное положение?

3. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?

4. Прямые m и n пересекаются в точке М (рис 2). Точка А лежит на прямой m, точка В лежит на прямой n, прямая b лежит в плоскости , прямые а и b параллельны. Каково взаимное положение прямых b и c?

5. Прямые а и b лежат в пересекающихся плоскостях  и . Могут ли эти прямые быть: 1) параллельными; 2) скрещивающимися?

6. Точки A, С, M и P лежат в плоскости , а точка B не лежит в плоскости  (рис 3). Постройте точку пересечения прямой MP с плоскостью ABC.

7. Точки A и B лежат в плоскости , а точка С лежит в плоскости  (рис 4). Постройте линии пересечения плоскости ABC с плоскостями  и .

8. Прямая а параллельна плоскости . Прямые b и c, пересекающие прямую а, пересекают плоскость  соответственно в точках B и С. Каким может быть взаимное положение прямых b и c ?

9. Плоскости  и  пересекаются по прямой m, прямая а лежит в плоскости . Каково возможное взаимное положение прямой а и плоскости ?

10. Прямая а параллельна плоскости , точка М и прямая с лежат в плоскости 
    (точка М не лежит на прямой с). Через точку М проведена прямая b, параллельная прямой а. Каково взаимное положение прямых b и c ?

11. Отрезок AB параллелен плоскости , отрезок CD лежит в плоскости , AB=CD. Можно ли утверждать, что четырёхугольник ABDC - параллелограмм?

Нормы оценок:

«2» 0-4

«3» 5-8

«4» 9-12

«5» 13-16

Контрольная работа «Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей»

1 вариант

При выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1.

а) Любые четыре точки лежат в одной плоскости;

б) Любые три точки не лежат в одной плоскости;

в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

г) Любые три различные точки не лежат в одной плоскости;

А 2.

Назовите общую прямую плоскостей РВМ и МАВ.

а) РМ; б) А В; в) РВ; г) ВМ.

А 3.

Через вершины параллелограмма, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках , , , .Тогда представляет собой:

а) трапецию; б) ромб; в) параллелограмм; г) прямоугольник.

При выполнении задания В достаточно указать ответ.

В. Плоскость пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Д и Е соответственно, причем АС параллельна плоскости .

Найдите АС, если ВД: АД=3:4,ДЕ=10.

При выполнении задания С необходимо представить полное решение.

С. Сторона ромба MCDN равна 4 см, MNKP -параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника CDKP , если NK=8см, CMP= .

2 вариант

При выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1.

а) Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна;

б) Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости;

в) Через прямую и точку, лежащую на не, проходит единственная плоскость;

г) Нельзя провести плоскость через две параллельные прямые.

А 2.

Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

а) AF; б) FD; в) AE; г) ED.

А 3.

Через концы отрезка AB,не пересекающего плоскость и точку C – его середину, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость , , соответственно. Найдите , если =12, =6.

а) 6; б) 9; в) 6 ; г) другой ответ.

При выполнении задания В. В достаточно указать ответ.

В. Плоскость пересекает стороны MP и KP треугольника MPK соответственно в точках N и E, причем сторона MK параллельна плоскости , MK=12, MN: NP=3:5.Найдите NE.

При выполнении задания С необходимо представить полное решение.

С. Сторона ромба CDEK равна 8 см, CKMN -параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника DEMN , если KM =6см, DCN= .

Ответы.

1 вариант

Задания	А 1	А 2	А3	В	С
Ответы	г	г	в	23	8+8
Баллы	1	1	1	2	3

2 вариант

Задания	А 1	А 2	А3	В	С
Ответы	б	б	б	7,5	16+4
Баллы	1	1	1	2	3

Нормы оценок:

«2» 0-2

«3» 3-4

«4» 5-6

«5» 7-8

Контрольная работа «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1 вариант

При выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними:

а) ; б) ; в) ; г) нельзя определить.

А 2.Прямая перпендикулярна к двум различным плоскостям, тогда плоскости:

а) пересекаются; б) скрещиваются; в) параллельны; г) нельзя определить;

А 3.Прямая m перпендикулярна к прямым a и b,лежащим в плоскости ,но m не перпендикулярна плоскости .Тогда прямые a и b:

а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются; г) нельзя определить;

При выполнении задания В достаточно указать ответ.

В.Из точки к плоскости проведены две наклонные ,равные 23сми 33см .Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных как 2:3.

При выполнении задания С необходимо представить полное решение задачи.

С. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АД к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки Д до стороны ВС, если АД=13см, ВС=6см.

2 вариант

При выполнении заданий А1-А3 укажите букву с верным ответом.

А 1. Две прямые a и b параллельны, а прямые b и c перпендикулярны. Чему равен угол между a и c:

а) ; б) ; в) ; г) нельзя определить.

А 2.Две различныеплоскости перпендикулярны к некоторой прямой. Тогда эти плоскости:

а) перпендикулярны; б) параллельны; в) скрещиваются; г) нельзя определить;

А 3.Какое утверждение неверно:

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки имеют разные длины;

б) равные наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции;

в) Из двух наклонных проведенных из одной точки больше та проекция, которой больше;

г) Любая наклонная не больше своей проекции;

При выполнении задания В достаточно указать ответ.

В.Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найти произведение их длин, если наклонные относятся как 1:2,а их проекции равны 1см и 7 см.

При выполнении задания С необходимо представить полное решение задачи.

Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно1,1м,а до каждой из вершин треугольника-6,1м. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответы.

1 вариант

Задания	А 1	А 2	А3	В	С
Ответы	а	в	а	9см	14см
Баллы	1	1	1	2	3

2 вариант

Задания	А 1	А 2	А3	В	С
Ответы	в	б	г	32	6
Баллы	1	1	1	2	3

Зачетное занятие по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой;

б) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;

в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой;

г) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ответ обосновать.

2. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABCравно 4см(рис. 2). Найдите расстояние от точки Mдо плоскости ABC, если AB = 6см.

Рис.2 М

А В

О

С

3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Точка, лежащая в плоскости , удалена от плоскости на см, а от прямой с – на 4см. Найти угол между и .

4. АВСДА₁В₁С₁Д₁ прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД . Боковая грань АА₁В₁В и диагональное сечение ВВ₁Д₁Д образуют угол равный а) ) 30⁰; б) 45⁰; в) 60⁰; г) 135⁰.

Ответ обосновать.

Вариант 2.

1. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?

а) 90⁰; б) 0⁰; в) 180⁰; г) 45⁰.

Ответ обосновать.

1. Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого 36 см² (рис. 3). Найти расстояние между прямыми КА и ВС.

а) 6 см; б) 12 см; в) определить нельзя, не хватает данных; г) 6 см.

К

Рис. 3

А В

Д С

1. Прямая ДА перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС и не лежит в его плоскости (рис. 1). Перпендикулярными являются плоскости

а) ДАС и АВС; б) ДАВ и ДВС; в) ДАС и ДВС; г) ДВС и АВС.

Д Рис. 1

С А

В

Ответ обосновать.

4. Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см.

а) arccos2/3; б) arcsin2/3; в) arcsin3/2; г) arctg2/3.

Нормы оценок:

«2» 0-1

«3» 2

«4» 3

«5» 4

11 класс.

Зачетное занятие.

Вариант 1.

ЧАСТЬ А.

1. Какие из утверждений верны:

А) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости.

Б) Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, называется расстоянием от данной точки до плоскости.

В) Если к плоскости проведены две наклонные, то их проекции на плоскость равны.

Г) Если прямая, параллельна плоскости, то все её точки находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

1. Справедливы ли утверждения:

А) АВСД- параллелограмм, АК_{ } АВ, значит ДС_{ } АК.

Б) АВСД –квадрат, ВР _{ } (АВС), значит треугольник РСД – прямоугольный.

В) АВСД – ромб, ВД_{ }АС=О, ОЕ_{ } ВД, значит ОЕ_{ } АС.

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведены перпендикуляр АН и наклонная АВ. Найдите длину проекции наклонной на плоскость _{ }, если АН =5, АВ = 13.

А)  ;

Б) 12;

В) 8.

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведены перпендикуляр АН и наклонная АВ. Найдите длину проекции наклонной на плоскость _{ }, если АВ = 8 и угол между перпендикуляром и наклонной равен 60⁰.

А)  ;

Б) 4 ;

В) 4 .

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведена наклонная АВ под углом 45⁰ к плоскости . Найдите длину перпендикуляра АН, если наклонная АВ = 6.

А)  ;

Б) 3 ;

В) 6 .

ЧАСТЬ Б

1. АВСД – квадрат. ВР_{ } (АВС). Найдите РД, если ВР = 4 и _{ }РСВ = 30⁰

1. Из точки А к плоскости _{ } проведены две наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью углы в 30⁰ и 60⁰соответственно. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если длина перпендикуляра АН= 9 и проекции этих наклонных взаимно перпендикулярны.

Вариант 2.

ЧАСТЬ А.

1. Какие из утверждений верны:

А) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Б) Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость

В) Если к плоскости проведены две наклонные, то они равны.

Г) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они пересекаются.

1. Справедливы ли утверждения:

А) АВСД- параллелограмм, АК_{ } АВ, значит ВС_{ } АК.

Б) АВСД –прямоугольник, ВР _{ } (АВС), значит треугольник РСД – прямоугольный.

В) АВСД – квадрат, ВД_{ }АС=О, ОЕ_{ } ВД, значит ОЕ_{ } АС.

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведены перпендикуляр АН и наклонная АВ. Найдите длину перпендикуляра АН, если АВ= 10, НВ = 6.

А)  ;

Б) 8;

В) 2.

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведены перпендикуляр АН и наклонная АВ. Найдите длину наклонной АВ , если АН = 4 и угол между перпендикуляром и наклонной равен 45⁰.

А)  ;

Б) 4 ;

В) 2 .

1. Точка А не лежит в плоскости _{ }. Из точки А проведена наклонная АВ под углом 60⁰ к плоскости . Найдите длину проекции наклонной, если наклонная АВ = 12.

А) ;

Б) 6 ;

В) 6.

ЧАСТЬ Б

1. АВСД – прямоугольник. ВР_{ } (АВС). Найдите РД, если АВ= 4, ВС = 6 и _{ }РСВ = 30⁰

1. Из точки А к плоскости _{ } проведены две наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью углы в 30⁰. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если длина перпендикуляра АН= 6 и угол между их проекциями 120⁰

Нормы оценок:

«2» 0-2

«3» 3-4

«4» 5-6

«5» 7-8

ОТВЕТЫ:

	Часть А							Часть Б
	1	2			3	4	5	1	2
		А	Б	В
Вариант 1	БГ	да	да	нет	Б	В	А	2 	18
Вариант 2.	АБ	нет	да	да	Б	А	В	8	6

Контрольная работа по теме: «Многогранники»

Вариант 1

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.

Вариант 2

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань — квадрат.

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
а) Найдите боковое ребро пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения.

 

Нормы оценок:

«2» 0

«3» 1

«4» 2

«5» 3

Зачетное занятие.

Вариант 1

1.Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:

а)четырехугольник

б)многоугольник

в)многогранник

г)шестиугольник

2. К многогранникам относятся:

а)параллелепипед

б)призма

с)пирамида

все ответы верны

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:

а)диагональю

б)ребром

в)гранью

г)осью

4. У призмы боковые ребра:

а)равны

б)симметричны

в)параллельны и равны

г)параллельны

5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:

а)противолежащими

б)противоположными

в)симметричными

г)равными

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

а)медианой

б)осью

в)диагональю

г)высотой

7. Точки не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:

а)вершинами пирамиды

б)боковыми ребрами

в)линейным размером

г)вершинами грани

8. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

а)медианой

б)апофемой

в)перпендикуляром

г)биссектрисой

9. У куба все грани:

а)прямоугольники

б)квадраты

в)трапеции

г)ромбы

10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:

а)конусом

б)шаром

в)цилиндром

г)сферой

11. У цилиндра образующие:

а)равны

б)параллельны

в)симметричны

г)параллельны и равны

12. Основания цилиндра лежат в:

а)одной плоскости

б)равных плоскостях

в)параллельных плоскостях

г)разных плоскостях

13. Поверхность конуса состоит из:

а)образующих

б)граней и ребер

в)основания и ребра

г)основания и боковой поверхности

14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:

а)радиусом

б)центром

в)осью

г)диаметром

15. Всякое сечение шара плоскостью есть:

а)окружность

б)круг

в)сфера

г)полукруг

16. Сечение шара диаметральной плоскостью называется:

а)большим кругом

б)большой окружностью

в)малым кругом

г)окружностью

17. Круг конуса называется:

а)вершиной

б)плоскостью

в)гранью

г)основанием

18. Основания призмы:

а)параллельны

б)равны

в)перпендикулярны

г)не равны

19. Площадью боковой поверхности призмы называется:

а)сумма площадей боковых многоугольников

б)сумма площадей боковых ребер

в)сумма площадей боковых граней

г)сумма площадей оснований

20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:

а)центром

б)центром симметрии

в)линейным размером

г)точкой сечения

Вариант 2

1. Вершины многогранника обозначаются:

а)а, в, с, д ...

б)А, В, С, Д ...

в)ав, сд, ас, ад ...

г)АВ, СВ, АД, СД ...

2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:

а)пирамидой

б)призмой

в)цилиндром

г)параллелепипедом

3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:

а)наклонной

б)правильной

в)прямой

г) выпуклой

4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:

а)правильной призмой

б)параллелепипедом

в)правильным многоугольником

г)пирамидой

5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:

а)конусом

б)пирамидой

в)призмой

г)шаром

6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:

а)гранями

б)сторонами

в)боковыми ребрами

г)диагоналями

7. Треугольная пирамида называется:

а)правильной пирамидой

б)тетраэдром

в)треугольной пирамидой

г)наклонной пирамидой

8. К правильным многогранникам не относится:

а)куб

б)тетраэдр

в)икосаэдр

г)пирамида

9. Высота пирамиды является:

а)осью

б)медианой

в)перпендикуляром

г)апофемой

10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:

а)гранями цилиндра

б)образующими цилиндра

в)высотами цилиндра

г)перпендикулярами цилиндра

11. Прямая, проходящая через центры оснований называется:

а)осью цилиндра

б)высотой цилиндра

в)радиусом цилиндра

г)ребром цилиндра

12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:

а)пирамидой

б)конусом

в)шаром

г)цилиндром

13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:

а)сферой

б)шаром

в)цилиндром

г) полусферой

14. Граница шара называется:

а)сферой

б)шаром

в)сечением

г)окружностью

15. Линия пересечения двух сфер есть:

а)круг

б)полукруг

в)окружность

г)сечение

16. Сечение сферы называется:

а)кругом

б)большой окружностью

в)малым кругом

г) малой окружностью

17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:

а)треугольниками

б)углами

в)многоугольниками

г)шестиугольниками

18. Боковая поверхность призмы состоит из:

а)параллелограммов

б)квадратов

в)ромбов

г)треугольников

19. Боковая поверхность прямой призмы равна:

а)произведению периметра на длину грани призмы

б)произведению длины грани призмы на основание

в)произведению длины грани призмы на высоту

г)произведению периметра основания на высоту призмы

20. К правильным многогранникам относятся:

а)тетраэдр

б)куб и додекаэдр

в)октаэдр и икосаэдр

г)все ответы верны

Нормы оценок:

«2» 0-5

«3» 6-10

«4» 11-15

«5» 16-20

Ответы на банк тестовых заданий по теме «Многогранники»

Вариант 1

№ вопроса	Правильный ответ
	в
	г
3.	а
4.	в
5.	а
6.	г
7.	а
8.	б
9.	б
10.	в
11.	г
12.	в
13.	г
14.	г
15.	б
16.	а
17.	г
18.	б
19.	в
20	б

Вариант 2

№ вопроса	Правильный ответ
1.	б
2.	б
3.	в
4.	б
5.	б
6.	в
7.	б
8.	г
9.	в
10.	б
11.	а
12.	б
13.	б
14.	а
15.	в
16.	б
17.	в
18.	а
19.	г
20.	г

Итоговая контрольная работа.

Вариант 1.

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите высоту призмы, площадь боковой и полной поверхностей призмы, объем.

2. Основание пирамиды – прямоугольник состоронами 6см и 8см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды и объем.

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

равна 25 см, а диагональ одной из его граней 24 см. Найдите длину ребра, перпендикулярного к данной грани.

4. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

5. В правильной четырехугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец непараллельной ей диагонали верхнего основания. Площадь основания и площадь сечения равны 20 см². Найдите объем призмы.

6. Прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.

Вариант 2.

1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9см., а диагональ боковой грани равна 15см. Найдите сторону основания, площадь боковой и полной поверхностей призмы, объем.

2. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10 и 18см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13см. Найдите высоту пирамиды, большее боковое ребро и объем.

3. Диагональ одной из граней прямоугольного параллелепипеда равна 15см., а ребро, перпендикулярное к этой грани, имеет длину 8см. Найдите диагональ параллелепипеда.

4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16см., а боковое ребро 20см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

5. В правильной прямоугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 45º; площадь сечения равна 4 см². Найдите объем призмы.

6. Прямоугольник со сторонами 24 см. и 10 см. может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм.

Нормы оценок:

«2» 0-1

«3» 2-3

«4» 4-5

«5» 5-6

Зачетное занятие.

1 вариант

1. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.

А) 4,2 см; Б) 10 см; В) 5 см.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат площадью 36 дм². Найти площадь основания цилиндра.

А) ; Б) ; В) .

3. Площадь осевого сечения конуса равна 48 см², высота 12. Найдите R.

А) 4 см; Б) 2 см; В) 8 см.

4. Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг своей стороны. Чему равна площадь основания полученного тела?

А) ; Б) ; В) .

5. Наибольший угол между образующими конуса 60⁰ . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?

А) 5 см; Б) 10 см; В) 2,5 см.

6. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

А) ; Б) ; В) .

7. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна образующая конуса?

А) 5 см; Б) 4 см; В) .

8. В равностороннем цилиндре радиус основания равен 3,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?

А) ; Б) ; В) .

9. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна длина окружности основания?

А) 8π см; Б) 4 π см; В) 16 π см.

А) 1; Б) бесконечно много; В) 2.

10. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна площадь осевого сечения?

А) ; Б) ; В) .

2 вариант

1. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.

А) 15 см; Б) 14 см; В) 13 см.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадью 16 дм² . Найти площадь основания цилиндра.

А) ; Б) ; В) .

3. Площадь осевого сечения конуса равна 36 см², высота 12. Найдите R.

А) 3 см; Б) 1,5 см; В) 6 см.

4. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей стороны. Чему равна площадь основания полученного тела?

А) ; Б) ; В) .

5. Наибольший угол между образующими конуса 60⁰ . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?

А) 7 см; Б) 14 см; В) 3,5 см.

6. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

А) ; Б) ; В) .

7. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна образующая конуса?

А) 10 см; Б) 4 см; В) .

8. В равностороннем цилиндре радиус основания равен 7,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?

А) ; Б) ; В) .

9. В равностороннем конусе образующая равна 6 см. Чему равна длина окружности основания?

А) 12 π см; Б) 6 π см; В) 9 π см.

10. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна площадь осевого сечения?

А) ; Б) ; В) .

Нормы оценок:

«2» 0-2

«3» 3-5

«4» 6-8

«5» 9-10

Контрольная работа по теме: «Тела вращения. Объемы тел»

	ВАРИАНТ I	ОТВЕТЫ
№	Задание	а	б	в
1	Формула площади круга	2πR	πR2	2πR2
2	При вращении прямоугольника вокруг стороны получится	шар	конус	цилиндр
3	В основании цилиндра лежит	круг	полукруг	квадрат
4	Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей в цилиндре называются	высотой	осью	образующими
5	Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси есть	прямоугольник	круг	трапеция
6	Радиус основания цилиндра равна 8 см, высота цилиндраравна 5 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра	40 см2	80 см2	20 см2
7	Конус получается при вращении вокруг катета	Произвольного треугольника	Равностороннего треугольника	Прямоугольного треугольника
8	Осевое сечение конуса - это	треугольник	круг	прямоугольник
9	Формула площади боковой поверхности конуса	Sбок = πRl	Sбок = πR2l	Sбок =2 πRl
10	Формула площади боковой поверхности цилиндра	Sбок = 2πRh	Sбок= πR2h	Sбок= πRh
11	Сечение конуса плоскостью, проходящее перпендикулярно его оси, это	трапеция	треугольник	круг
12	Радиус основания конуса 3 см, высота 4 см. Найдите образующую	7 см	5 см	1 см
13	Сфера - это поверхность	шара	цилиндра	конуса
14	Формула площади сферы	2πR2	4πR2	πR2
15	Площадь сферы равна 36π см2. Чему равен радиус шара	3 см	9 см	6 см
16	Любое сечение шара плоскостью – это	квадрат	круг	прямоугольник
17	Осевым сечением усеченного конуса является	прямоугольник	треугольник	трапеция
18	Что представляет из себя геометрическое место точек, удаленных от данной точки на расстояние, меньшее или равное 10 см.	шар радиуса 5 см	шар радиуса 20 см	шар радиуса 10 см
19	Формула длины окружности	2πR	πR2	2πR2
20	Пересечение двух сфер - это	круг	окружность	шар

	ВАРИАНТ II	ОТВЕТЫ
№	Задание	а	б	в
1	Формула длины окружности	πR2	2πR	2πR2
2	Сечение цилиндра плоскостью, проходящее перпендикулярно его оси	прямоугольник	треугольник	круг
3	Формула площади боковой поверхности цилиндра	Sбок= πRh	Sбок = 2πRh	Sбок= πR2h
4	Высота конуса 6 см, радиус его основания 8 см. найдите длину образующей конуса.	10 см	14 см	2 см
5	Боковая поверхность цилиндра состоит из	осей	высот	образующих
6	Формула площади круга	πR2	2πR	2πR2
7	Сечение конуса плоскостью, проходящее через его вершину, это	прямоугольник	трапеция	треугольник
8	Осевое сечение усеченного конуса это	круг	трапеция	треугольник
9	Геометрическое место точек, удаленных от данной точкина расстояние меньшее или равное 5 см это	Шар радиуса 5 см	Шар радиуса 10 см	Шар радиуса 2,5 см
10	Сечение шара плоскостью – это	овал	окружность	круг
11	Площадь сферы равна 100 π см2. Чему равен радиус соответствующего шара	10 см	5 см	25 см
12	При вращении прямоугольника вокруг его стороны получается	цилиндр	шар	конус
13	Площадь боковой поверхности конуса	Sбок =2 πRl	Sбок = πRl	Sбок = πR2l
14	При вращении прямоугольного треугольника вокруг катетаполучится	цилиндр	шар	конус
15	Сечение конуса плоскость, прохо-дящее перпендикулярно оси есть	прямоугольник	круг	трапеция
16	Радиус основания цилиндра – 3 см, высота – 7 см. найдите площадь осевого сечения цилиндра	42 см2	21 см2	10 см2
17	Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется	осью	образующей	высотой
18	Сечение цилиндра плоскостью, параллельно его оси это	прямоугольник	круг	треугольник
19	Сфера это поверхность	цилиндра	конуса	шара
20	Формула площади сферы	πR2	2πR2	4πR2

Ответы

1 вариант

б

в

а

в

а

б

в

а

а

а

в

б

а

б

а

б

в

в

а

б

2 вариант

а

в

б

а

в

а

в

б

а

в

б

а

б

в

б

а

б

а

в

в

Нормы оценок:

«2» 0-5

«3» 6-10

«4» 11-15

«5» 16-20

Итоговая контрольная работа.

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ;

б) нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору;

в) разностью векторов а и b называется такой вектор. сумма которого с вектором b равна вектору а;

г) векторы называются равными, если равны их длины.

2. Упростите выражение:СС₁+СВ+СД+А₁В₁, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.

а) AC ; б) 0 ; в) СВ₁; г) DC ; д) BA .

3. Какие из следующих утверждений верны?

а) противоположные векторы равны;

б) Векторы, лежащие на двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, коллинеарны

в) произведение вектора на число является число;

г) Для сложения двух векторов на плоскости используют правило параллелограмма.

4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Найдите угол между DC1 и СВ.

а) 45^о; б) 30^о; в) 135^о ; г) 90^о ; д) 60^о .

5. Какие из следующих утверждений неверны?

а) векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости;

б) если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны;

в) для сложения трёх некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда;

г) любые два вектора компланарны;

6. Диагонали куба АВСД А₁В₁С₁Д₁ пересекаются в точке О . Найдите число µ из равенства ДВ₁= µОВ₁.

7.Известно, что 2 AC = AB + AD , тогда векторы AB, AD являются:

а) некомпланарными; б) сонаправленными; в) коллинеарными;

г) нулевыми; д) компланарными.

8. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы BB1, CC1, DD1:

а) нулевые; б) равные; в) противоположные; г) компланарные;

д) некомпланарные.

9. Найдите соответствие , если А(х,у, z), а В(х₁;у₁, z₁)

1.координаты вектора ВА	А)  
Скалярное произведение векторов	Б) (αх; αу; αz)
3. абсолютная величина вектора ВА	В) (х-х1; у-у1; z-z1)
4. умножение вектора А на число	Г) хх1+уу1+zz1

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой АВ, если А(-1,2,1), В(-3,1,-2).

11. Площадь треугольника равна 8. Угол между плоскостью треугольника и его ортогональной проекцией равен 45^о. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника.

Критерии отметки: за каждый правильный ответ даётся по 1 баллу; максимальное количество баллов 11.

11 баллов – «5»;

9-10 баллов – «4»;

6-8 баллов – «3»;

менее 6 баллов – «2».

Вариант 2.

1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) длиной нулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ ;

б) любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор;

г) для любых векторов а и b выполняется равенство а+(- b)= а-b;

д) векторы называются равными, если они сонаправлены и равны их длины.

2. Упростите выражение:В₁В+В₁С₁+В₁А₁+ДС, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.

а) B1A1; б) 0 ; в) CC1; г) CA; д) B1C .

3. Какие из следующих утверждений верны?

а) любые два вектора компланарны.

б) если векторы a и b коллинеарны и а≠0, то существует такое число k, что b=ka;

в) векторы называются равными, если они сонаправлены;

г) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены;

4. Дан куб ABCДA₁B₁C₁Д₁ . Найдите угол между СВ₁ и ВА₁

|а) 45^о ; б) 30^о ; в) 100^о ; г) 90^о ; д) 60^о .

5. Какие из следующих утверждений неверны?

а) три вектора будут компланарными, если один из них нулевой;

б) если векторы a, b и с компланарны, то вектор d можно разложить по векторам а, b и с

т.е. представить в виде d=ха+yb+zc, где х, y, z- некоторые числа;

в) для сложения трёх компланарных векторов используют правило параллелограмма;

г) любые два вектора коллинеарны.

6. Диагонали куба АВСД А₁В₁С₁Д₁ пересекаются в точке О . Найдите число µ из равенства

С₁О= µАС₁.

7. Известно, что 2 AC = – AB - AD , тогда векторы AB, AD являются:

а) компланарными; б) некомпланарны; в) коллинеарными; г) сонаправлены; д)

нулевые.

8. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы B1B , C1C , D1D :

а) нулевые; б) равные; в) компланарные; г) некомпланарные;

д) противоположные.

9. Найдите соответствие, если если А(х,у, z), а В(х₁;у₁, z₁)

1.площадь ортогональной проекции многоугольника	А)  
2.координаты середины отрезка	Б)(  ;  ;  )
3. Скалярное произведение векторов	В) Sф· 
4. . абсолютная величина вектора ВА	Г) хх1+уу1+zz1

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной прямой ВС, если В(-1,-2,2), С(7,0,-9).

11. Площадь ортогональной проекции параллелограмма равна 7. Найдите площадь самого параллелограмма, если угол между плоскостями данных многоугольников равен 60^о.

Критерии отметки: за каждый правильный ответ даётся по 1 баллу; максимальное количество баллов 11.

11 баллов – «5»;

9-10 баллов – «4»;

6-8 баллов – «3»;

менее 6 баллов – «2».

Ответы

№	1 вариант	2 вариант
1	Г	А
2	В	Д
3	Б Г	А Б
4	Г	Д
5	А Б	Г В
6	2	-1/2
7	В	В
8	Б	Б
9	1-в, 2-г, 3-а, 4-б	1-в, 2-б, 3-г, 4-а
10	-2х-у-3z+3=0	8х+2у-11z+34=0
11	4 	14

Зачетное занятие.

1. Какой симметрии не существует:
   а) тройственной
   б) зеркальной
   в) осевой

2. Секущая плоскость α пересекает все образующие неограниченного конуса, кроме одной (которой α параллельна). В сечении получается:
   а) дуга окружности
   б) парабола
   в) окружность

3. Симметрия относительно плоскости в пространстве называется:
   а) центральной
   б) осевой
   в) зеркальной

4. Фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, так ли это:
   а) да
   б) нет
   в) зависит от задачи

5. Симметрия относительно точки называется:
   а) центральной
   б) осевой
   в) зеркальной

6. Шар получается вращением полукруга вокруг ограничивающего его диаметра, сфера — вращением полуокружности, так ли это:
   а) да
   б) нет
   в) зависит от задачи

7. Симметрия относительно прямой называется:
   а) центральной
   б) осевой
   в) зеркальной

8. Все высоты усеченного конуса:
   а) равны
   б) перпендикулярны друг другу
   в) параллельны основанию

9. Зная координаты точек A(-12, 7, -3) и B(-10, -2, -2) найдите значение вектора AB:
   а) {-2;9;1}
   б) {-22;5;-5}
   в) {2;-9;1}

10. Отрезок, соединяющий центры оснований усеченного конуса вращения, является его:
    а) диагональю
    б) высотой
    в) биссектрисой

11. При каком значении n векторы a(4;2n;-1), b(-1;1;n) перпендикулярны:
    а) 4
    б) 3
    в) 2

12. Оба основания усеченного конуса вращения:
    а) равнобедренные треугольники
    б) круги
    в) прямоугольные треугольники

13. Векторы a, b, c единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами a и b-c:
    а) 90°
    б) 40°
    в) 60°

14. Точка О, являющаяся центром масс тетраэдра, делит все отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней в отношении:
    а) 4 : 1
    б) 2 : 1
    в) 3 : 1

15. Даны три точки A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;c), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны:
    а) 1
    б) -1
    в) 0

16. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра:
    а) 1,5
    б) 1,25
    в) 1,20

17. Найдите D(x,y,z), если сумма векторов AB и CD равна нулю. A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1):
    а) D(-2;1;2)
    б) D(1;2;-2)
    в) D(2;1;-2) +

18. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого:
    а) 9 см
    б) 3 см
    в) 6 см

19. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. Радиус основания r. Вычислить боковую поверхность конуса:
    а) 4π²
    б) π²
    в) 2π²

20. В цилиндрический сосуд налили 1200 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали:
    а) 1100 см³
    б) 1000 см³
    в) 100 см³

21. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в кучу:
    а) 72
    б) 63
    в) 85

22. Пусть V, r, h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите объем, если r=2√2 cм, h=3 см:
    а) 43π см³
    б) 24π см³
    в) 31π см³

23. Жидкость, налитая в конический сосуд, имеющий 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,10 м. Как высоко будет уровень жидкости в сосуде:
    а) 1,4 м
    б) 2,7 м
    в) 0,35 м

24. Радиус основания цилиндра равен 7, а высота — 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π:
    а) 124
    б) 140
    в) 104

25. Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса:
    а) 32
    б) 10
    в) 20

26. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 41. Найдите площадь полной поверхности цилиндра:
    а) 65
    б) 61,5
    в) 60

27. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз:
    а) в 9 раз
    б) в 11 раз
    в) в 5 раз

28. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра:
    а) 3
    б) 4
    в) 2

29. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания:
    а) 60°
    б) 80°
    в) 30°

30. Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса:
    а) 30
    б) 37
    в) 29

Нормы оценок:

«2» 0-7

«3» 8-15

«4» 16-25

«5» 26-30