Методическая разработка урока "Степень с действительным показателем"

преподаватель: Белова Н.В.

Дата:

Предмет: математика

Тема урока: Степень с действительным показателем.

Цели:

• Образовательные:

  • обобщить понятие степени;

  • отработать умение находить значение степени с действительным показателем;

  • закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;

  • выработать навык использования свойств степени при вычислениях.

• Развивающие:

  • интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

  • активизировать самостоятельную деятельность;

  • развивать познавательный интерес.

• Воспитательные:

  • воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;

  • эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем

Учащиеся должны уметь: использовать свойства степени при вычислениях и  упрощении выражений;

решать примеры, содержащие степень; сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования.

Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Педагогические технологии: проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

Место урока в теме: урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления).

Наглядность к уроку и раздаточный материал: презентация, формулы и таблицы; задание для самостоятельной работы, листы самоконтроля.

Ход урока

I. Организационный этап (2 мин) До начала урока дежурные раздают раздаточный материал.

Приветствие детей. Проверка готовности к уроку. (слайд 1)

Заполнение журнала (кто отсутствует?)

Перед детьми листы самоконтроля, которые они заполняют в течении урока.

II. Повторение теоретического материала по теме. Актуализация знаний (6 мин) (слайд 2)

Учитель просит учащихся дать определение степени с натуральным показателем.

Звучит определение.

Определение. Степенью действительного числа а с натуральным показателем п называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.

Учитель просит учащихся дать определение степени с целым показателем.

Звучит определение.

Определение. Если - целое отрицательное число, то , где 0 Учитель спрашивает: «Чему равна нулевая, первая степень любого действительного числа?» ; .

Учитель просит учащихся дать определение степени с рациональным

показателем. Звучит определение.

Определение. Степенью действительного числа а 0 c рациональным показателем r = , где m- целое, n- натуральное, называется число :

. Если , то .

Учитель: «Вспомните основные свойства степени».

Учащиеся перечисляют свойства степени:

Для любых действительных чисел т и п и для любых положительных а и в выполняются равенства:

1. 4.

2. 5.

3.

Во время ответов на интерактивной доске учащиеся видят определения и свойства степени, и если надо вносят дополнения и исправления в ответы своих товарищей.

Устная работа по решению простейших задач по теме « Основные свойства степени» (слайд 3)

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению упражнений.

1. Вычислите:

1)

2) 4)

3) 5)

1. Упростите:

1) 4)

2) 5)

3) ( ) 6)

III. Определение темы урока (групповая работа). Мотивация учебной деятельности учащихся. (5 мин)

Каждому ряду даются карточки с заданиями:

I ряд: 7⁵; 25²; -3*(-2)⁵ ; 7*5²; (7*5)²; 59²-36²; 36*(3/6) ²;

II ряд: (4*5) ^-2; -5*2⁵; (6-8)⁵; 2 ²-4³; -6 ^-2-(-1)¹⁴; 10-5*2⁴

III ряд: 4^-2; (1/7) ^-2; (-1)^9/7; 8*4^-3/2; 18*(-9)^-1/2; 25-2018⁰

Что объединяет все эти задания, чем они схожи?

(Все задания на нахождение степени) Пишу на доске первое слово темы…

А чем они отличаются?

( 1ряд -натуральные; 2ряд-целые,3 ряд-рациональные)

Все они вместе образуют класс действительных чисел.

М ножество всех действительных чисел записывают в виде кругов Леонардо Эйлера (швейцария):

·     N  —  множество  натуральных 

чисел, 

·     Z  —  множество  целых 

чисел, 

·     Q  —  множество  рациональных  чисел, 

·     R  —  множество  всех 

действительных  чисел. 

Историческая справка (слайд 4)

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком и индексом; например, куб – знаком k c индексом r и т.д. (слайд 5)

Большой вклад в развитие понятия степени внес древнегреческий ученый Пифагор. У него была целая школа, и всех его учеников называли пифагорейцами. Они придумали, что каждое число можно представить в виде фигур. Например, числа 4, 9 и 16 они представляли в виде квадратов.

(слайд 6)

Вавилоняне пошли дальше: составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел. (слайд 7)

XVI век. В этом веке понятие степени расширилось: его стали относить не только к конкретному числу, но и к переменной. Как тогда говорили «к числам вообще». Английский математик С. Стевин придумал запись для обозначения степени: запись 3(3)+5(2)–4 обозначала такую современную запись 3³ + 5² – 4. (слайд 8)

Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у С. Стевина.

С.Стевин предположил подразумевать под степенью с показателем вида корень, т.е. . (слайд 9)

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.

Но современные обозначения (типа , ) в XVII веке ввел Рене Декарт. (слайд 10)

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса(1616–1703) и Исаака Ньютона.

IV. Первичное закрепление (20 мин) (слайд 11)

1. Учащиеся у доски - разбор упражнений из учебника(Алимов Ш.А.): № 74, № 77, № 82(а; б; в).

Решение:

№74:

а) = = a;

б) = = ;

в) : = = = b.

№ 77:

а) = = ;

б) = = = b.

№82:

а) = = = ;

б) = = y;

в) ( ) ( ) = .

2. Разноуровневая самостоятельная работа «Повышение вычислительной культуры»:

Вариант 1

Вычислите:

Вариант 2

Вычислите:

(слайд12)проверка

Учащийся должен решить задания своего уровня сложности. Если у него остается ещё время, то он может набирать дополнительные баллы, решая задания другого уровня сложности. Сильные учащиеся, прорешав задания менее сложного уровня, смогут помочь своим товарищам из другой группы в случае необходимости. (По просьбе учителя они выступают в роли консультантов).

V. Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (исследовательская работа) (8мин)

Однажды, листая страницы сборника олимпиадных задач по математике, я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример. Надо было найти последнюю цифру суммы 1981¹⁹⁸⁹ + 1982¹⁹⁸⁹ + 1983¹⁹⁸⁹ + 1984¹⁹⁸⁹ +1985¹⁹⁸⁹ +…+ 1989¹⁹⁸⁹. Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? (слайд13)

Для этого заполним таблицу:

Образцы формулировки выводов:

Вседа повторяется…,Повторяется через…шагов

     Я заполнила пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа. (слайд 14)

Заполняя таблицу выведем следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;

• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;

• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;

• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

(слайд 15)

Задания:

Найдите последнюю цифру числа:

а)2¹⁰⁰; ответ 6

б)549⁴⁹; Последняя цифра числа 549⁴⁹ совпадает с последней цифрой числа 9⁴⁹. Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1... То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9⁴⁹, и исходное число 549⁴⁹ оканчиваются на 9.

2.В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021³³⁷ − 1). Не опечатка ли это?

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность  23021³⁷⁷ – 1  оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом. Ответ: Опечатка.

3.Делится ли число 47³⁰+39⁵⁰ на 10?

Число 47³⁰ оканчивается цифрой 9, а число 39⁵⁰ — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

(слайд 16)

VI. Домашнее задание (1мин):

Работа над ошибками.

Творческое задание: составить карточку с заданиями на применение свойств степеней для опроса на следующем уроке.

Повторить определение и свойства п. 34 учебника.

VII. Рефлексия (подведение итогов занятия) (3 мин)

Лист самоконтроля

(слайд 17)

Подсчет баллов :

Каждое задание в том числе и задание самостоятельной работы, если

оно выполнено верно, оценивается в 1 балл.

Заполнение листа самоконтроля

«5» - 15 баллов

«4» - 10 баллов

«3» - 7 баллов

…мы надеемся, что ты очень старался,

просто сегодня – не твой день!..

Решения самостоятельной работы учащиеся забирают с собой, чтобы дома сделать работу над ошибками, листы самоконтроля сдают учителю.

Выставление оценок.

(слайд 18)

После озвучивания оценок, дити выбирают одно из выссказываний на слайде и заканчиваеют его.

(слайд 19)

Резерв (дети решают кроссворд)