" Методика решения геометрических задач. Фрагменты уроков."

МКОУ Охлинская СОШ

Проектная работа на тему:

«Методика решения задач по геометрии.

Задача на построение. Задачи на доказательства.»

Автор

учитель математики и информатики:

Гашимова.А.А.

Охли 2019год

Основная цель преподавания геометрии изучение свойств геометрических фигур изучение пространственных форм не будет достигнута, если параллельно с рассмотрением теоретического материала не будут проводиться разнообразные упражнения по привитию навыков в области решение задач.

Геометрические задачи подразделяется на задачи на вычисление, задачи на доказательства, задачи на построение.

При подборе задач некоторые учителя предпочитают решать задачи на вычисление не требующие от учащихся большого напряжения воображения, и очень мало внимания уделяют решению задач на доказательство и построение.

Приступая к изучению той или иной темы, учитель должен определить удельный вес каждого вида задач (на вычисление на доказательства на построение) и подобрать задачи в определённой системе, учитывая, в частности, что перед решением трудной задачи полезно решить ряд более простых задач, содержащих себе элемент этой трудной задачи.

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные геометрические задачи без прочных навыков по изготовлению хороших чертежей. Нужна привычка - не начинать решать задачу, пока не сделан аккуратный чертеж, удовлетворяющий математическим требованиям. И ещё желательно научиться делать чертежи достаточно хорошего качества от руки.

В качестве основного метода решение геометрических задач выдвигается алгебраический метод. Преимущество этого метода заключается в том, что основные его модификации могут быть алгоритмизированы. Имеется в виду две и модификации метод поэтапного решения (Аналогия - текстовые арифметические задачи решаемые аналитико-синтетический способом) и метод составление уравнений (аналогия - текстовые задачи на составление уравнений). Однако следует заметить что ставя во главу угла алгебраический метод решение геометрических задач необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счётом, не забыть - речь идёт о все же о геометрических задачах.

Поэтому работая над задачей, нужно искать её геометрические особенности, учиться видеть геометрию.

Рассматривая каждую задачу вместе с методом её решения, выделим так называемые элементарные задачи, то есть задачи в одно действие на применение известной теоремы или формулы, так как сложные задачи, как обычно состоят из нескольких простейших задач.

Таким образом, чертеж и метод являются главными слагаемые определяющие умение решать задачи. Сюда же надо добавить и третье слагаемое - владение определённым объемом вспомогательных геометрических фактов и теорем, наличие активно используемого запаса опорных задач. Многие теоремы, областью приложения которых являются задачи, а не теории из курса исключены. В связи с этим возникает необходимость в выделении некоторого количества так называемых опорных задач, дополнительных к курсу теорем или иллюстрирующих тот или иной часто встречающийся метод или прием решения задач.

Урок в 9 классе

Тема : решение задач на подобие треугольников.

I.Повторение:1.Какие треугольники называются подобными?

2. что следует из подобных треугольников?

3. признаки подобия треугольников.

4. основное свойство пропорции.

II. Устные упражнения: (на вычисление неизвестных членов пропорций) определение подобных треугольников на чертеже.

III. Новый материал: решение задач на подобие треугольников.

Учитель: при решении задачи наподобие треугольников, во - первых можно построить чертеж,
во - вторых если это необходимо нужно выполнить дополнительные построения,
в-третьих выделить на чертежи два или несколько подобных треугольников,
в - четвёртых составить ряд равных отношений для сходных сторон подобных треугольников и выполнить необходимые вычисления.
Задача 26 параграф 11 А.В.Погорелов 7-11.
Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если AB= 5 см, BC= 10 см, CD=6 см, AD=15 см.
Чертеже краткое условие записывает вызванный к доске учащийся.

Процесс решения задачи можно провести форме беседы:
Учитель: посмотрите на чертеж и скажите, сколько треугольников там изображены?
Учащиеся два треугольника AED и BEC.
Учитель: имеет ли эти треугольники равные элементы
Учащиеся: показывают на чертеже равные элементы этих треугольников
(как соответственные углы при AD BC и секущих AB CD).
Учитель: что следует из равенства этих углов
Учащиеся: это треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников
Учитель: что следует из подобия этих треугольников
Учащиеся: пропорциональностью сходственных сторон этих треугольников.
На доске появляется запись

Учитель: величины отрезков BE и CE не известны как их обозначить?
Учащиеся: пусть BE=х см, а CE=y см, тогда

AE=AB+BE, AE= (5+х) см

DE=CD+CE, DE= (6+y) см

Равенство примет вид

Или ,

3х=10+2х 3y=12+2y

х=10 y=12

BE=10 см CE=12см

AE=5+10=15(см) DE=6+12=18(см)

Ответ: 15см, 18см.

Оформление решения задач в тетради

Дано:

AT=AB+BE, DE=CD+CE

Пусть BE=х см, CE=y см тогда

AE=(5+х) см, DE=(6+y)см

Тогда примет вид

или ,

Из последнего получим : и

Или 3х=10+2х, 3y=12+2y

х=10 y=12см

BE=10см, CE=12см

Тогда AE=5+10=15(см) DE=12+6=18(см).

IV. Для самостоятельного решения предлагается задача №18 §11
V. Дома №20.

Задача на доказательство. (Фрагмент урока)

Задача №46(§11). А.В.Погорелов. Геометрия 7-11.

Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине пересекает прямую в точке (рис.259). докажите что AD:BD=AC:BC

Выполняем запись условия и построим чертеж

После полученного условия задачи учитель обращает внимание учащихся на пропорции (1)

Учитель: на основании чего вы утверждаете об этом?

Учащиеся :CD-биссектриса)

CD)

Из чего следует, что MCB – равнобедренный. BM=BC

Оказалось что отрезки BM и BC равны.

Таким образом, в пропорции заменим BM на равный BC и тогда мы получим то, что нужно было доказать

т.е AD:BD=AC:BC.

Схема решения задач на построение

Решение задач на построение в курсе геометрии имеет большое значение: учащиеся при решении овладевают аналитико-синтетическим методом, непосредственно связывают анализ условия задачи с изученным теоретическим материалом, причем эта работа облегчается наличием чертежа – рисунка, что помогает найти плен решения задачи.

Процесс решения задач на построение состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

I. анализ. Это подготовленный и в тоже время важный этап решения задач, так как именно он дает ключ к решению. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру.

Если предварительный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются построить какую-либо часть искомой фигуры или вообще, некую фигуру, которой затем можно воспользоваться для построения искомой.

В процессе проведения анализа полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

II.Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений, которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью циркуля и линейки.

III. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

IV. Исследование. Цель исследования – установить условие разрешимости и определение числа решений.

Урок в7кл. Тема: Решение задач на построение (фрагмент урока)

Задача №46§5 А.В.Погорелов. Геометрия 7-11 кл.

Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис.111)

Решение .

Дано :

Учитель: Мы должны построить АВС, чтобы его элементами были вот эти три данные величины.

I.Анализ. Предположим, что задача уже решена и пусть АВС искомый треугольник .

Учитель: Какие элементы, даны и какие из них н непосредственно можно построить?

Учащиеся: Данный угол А сторону АС и сумма АВ+ВС?

Построить: АВС

Можно построить угол А , на одной из сторон угла отложить данную сторону, т.е. АС

Учитель :Как использовать сумму АВ+ВС? Вероятно учащиеся , предложат

Продолжить сторону АВ за точку В и отложить ВС=ВD.

Теперь, если соединить С и D то получим треугольник АDС, который

можно(построить по двум сторонам и углу между ними ). АDС является той ключевой фигурой с помощью которого, можно построить искомый треугольник.

АDС состоит из АВС и СВD, причем СВD является равнобедренным и одна из его вершин совпадает с точкой В- вершиной АВС, который требуется построить.

Но две его вершины А и С построены – значить нужно построить вершину В. СВD – равнобедренный и СD его основание.

Учитель :Что нужно построить в СВD,чтобы на АD получить точку В?

Учащиеся : серединный перпендикуляр к CD.

Таким образом, намечается следующая последовательность построений: 1 2 3 4 5 6

II.Построение

1. Построить угол А.

2. На одной из его сторон отложить данную сторону (в ) AC (вершины А и С).

3. На другой стороне угла А отложить сумму AB+BC (точку D)

4. Соединить вершину С с точкой D.

5. Провести серединный перпендикуляр К к отрезку CD и отметить точку В на отрезке AD.

6. Соединить вершину C с точкой В ABC - искомый.

III. Доказательство.AB+BD=AB+BC-?

CBD –равнобедренный BC=BD

Таким образом – удовлетворяет всем требованиям.

IV.Исследование. Должны выполняться следующие условия:

A должен быть меньше 180 , и сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны. Только при выполнении этих условий задача имеет решение.

В этом случае В ADC DCи перпендикуляр к отрезку CD его середине пересечет сторону AD . задача при этих условиях имеет только одно решение.