Векторы
Историческая справка
- Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.
Что такое вектор ?
Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением : например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами .
Геометрическое понятие вектора
- Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора . Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом .
- Векторы обозначаются латинскими буквами a , b , c , …, а также AB , CD , … (на первом месте ставится начало вектора).
В
Конец вектора
a
C
c
А
b
Начало вектора
D
Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.
Понятие вектора
- На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой
Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.
CD
EF
LK
АВ
В
А
E
F
D
L
K
C
Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.
N
F
E
D
K
M
С
Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши
Сравним ответ
7
DC
MN
FE
KK
Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.
N
F
E
D
K
M
С
Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши
8
Понятие вектора
- Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:
- Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:
ММ = 0.
b
c
a
М
Понятие вектора
- Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:
АВ = а = АВ = 5
с = 17
- Длина нулевого вектора считается равной нулю:
ММ = 0.
с
В
a
А
М
Укажите длину векторов
F
E
N
L
Сравним ответ
K
с
M
11
Укажите длину векторов
F
E
|EF| = 3
N
L
|MN| = 4
|LK| = 5
K
|c| = 2
с
M
12
Коллинеарные вектора
Ненулевые вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
L
с
K
b
A
B
М
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
Проверь себя
13
Направление векторов
a
- Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.
- Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.
C
D
b
F
K
a ↑↑CD b ↑↑KF
Противоположно направленные вектора
Коллинеарные вектора имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами
b ↑↓ KL AB ↑↓ c
c ↑↓ b KL ↑↓ AB
L
K
A
с
b
B
15
Задача
- Какие из векторов, изображенных на рисунке:
- коллинеарны;
- сонаправлены;
- противоположно направлены;
d
c
a
b
Задание
Назовите соноправленные вектора:
Вариант 2
Вариант 1
A
B
K
N
L
M
D
C
Задание
Назовите противоположно направленные вектора:
Вариант 2
Вариант 1
A
B
K
N
L
M
D
C
Равенство векторов
а
c
Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.
а = b , если
b
d
m
f
s
n
Задание
Назовите равные вектора:
Вариант 2
Вариант 1
A
B
K
N
L
M
D
C
Откладывание вектора от данной точки
- Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А .
- Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а , и притом только один.
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой
а
А
М
а
Задача
- На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.
а) Укажите сонаправленные , противоположно направленные , равные вектора .
б) Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?
L
M
K
N
Сумма двух векторов
Петя из дома( D ) зашел к Васе( B ), а потом поехал в кинотеатр( К ).
В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK , Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор D К:
DK=DB+BK .
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK .
B
K
D
Сумма двух векторов
Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b .
АС = а + b
b
B
a
b
a
C
A
Сложение векторов
Правило треугольника
А
В
+
О
М
N
Р
О
К
А
В
С
Д
Постройте векторы:
H
K
F
L
N
P
O
M
U
T
S
R
Правило параллелограмма
К
О
Р
Т
М
К
А
В
С
Д
Постройте векторы:
H
K
F
L
N
P
O
M
U
T
S
R
Законы сложения векторов
1) а+ b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор А D = b . На этих векторах построим параллелограмм АВС D .
АС = АВ + B С = а+ b
АС = А D + D С = b+a
2) ( а+ b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
a
D
C
b
a
b
b
B
A
a
Сумма нескольких векторов
Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
k+n+m+r+p= 0
n
m
d
c
r
b
e
k
p
O
a
f
s
Вычитание векторов
А
О
В
Как проверить?
Противоположные векторы
Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
Вектор, противоположный вектору c , обозначается так: - c .
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0
c
B
a
-c
b
А
Вычитание векторов
Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (- b ).
Задача. Даны векторы а и b . Построить вектор а – b .
b
-b
-b
а
а
a - b
Умножение вектора на число
О
К
сонаправленные, если
и
противоположно направленные, если
Умножение вектора на число
Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b , длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k ≥ 0 и
противоположно направлены при k 0.
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.
а
-2a
3а
От точки N отложите
векторы
N
Умножение вектора на число
Для любых чисел k , n и любых векторов а, b справедливы равенства:
- ( kn ) а = k (na) ( сочетательный закон)
- ( k + n ) а = k а + na ( первый распределительный закон)
- K ( а+ b ) = k а + kb ( второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c
Задачи
- На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?
- В ромбе ABCD l AC l = 12см , l BD l = 16см . От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.
- Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X, что: а) AX = XB; б ) AX = BX; в ) XA = XB.
B
C
A
D