СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Презентация "Математика на клетке"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Презентация "Математика на клетке"»

Математика на клетке автор: Новикова Арина ученица 8 «В» класса МОУ «Лицей №53» руководитель: Ползунова Марина Юрьевна учитель математики

Математика на клетке

автор: Новикова Арина

ученица 8 «В» класса

МОУ «Лицей №53»

руководитель: Ползунова

Марина Юрьевна

учитель математики

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому.  Д. Пойя Цель работы:  поиск, классификация, сравнение задач на клетчатой бумаге и их решения. Задачи: - рассмотреть задачи на разрезание, раскрашивание, нахождение площади многоугольника, -  проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке; - подобрать наиболее интересные, наглядные примеры; -создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам; - разработать анкету для проведения опроса среди одноклассников; - провести эксперимент среди одноклассников по нахождению оптимального решения задач на нахождение площадей фигур;  -провести анализ работы и сформулировать вывод.

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. Д. Пойя

  • Цель работы: поиск, классификация, сравнение задач на клетчатой бумаге и их решения.
  • Задачи:
  • - рассмотреть задачи на разрезание, раскрашивание, нахождение площади многоугольника,
  • -  проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке;
  • - подобрать наиболее интересные, наглядные примеры;
  • -создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам;
  • - разработать анкету для проведения опроса среди одноклассников;
  • - провести эксперимент среди одноклассников по нахождению оптимального решения задач на нахождение площадей фигур; 
  • -провести анализ работы и сформулировать вывод.
Актуальность данного проекта заключается в том, что задачи на клетке помогают развивать геометрические представления на разнообразном материале, способствует развитию логического мышления и повышают интерес к изучению математики, а также такие задачи все чаще используются на олимпиадах и едином государственном экзамене, следовательно, знакомство с ними становится необходимым для каждого школьника.

Актуальность данного проекта заключается в том, что задачи на клетке помогают развивать геометрические представления на разнообразном материале, способствует развитию логического мышления и повышают интерес к изучению математики, а также такие задачи все чаще используются на олимпиадах и едином государственном экзамене, следовательно, знакомство с ними становится необходимым для каждого школьника.

Задачи на разрезание трансформирование дробление квадрирование Вывод: Работая с такими занимательными задачами, их построением, доказательством и анализом, развиваются навыки исследовательской работы, а умение правильно разрезать фигуры помогает рационально использовать эти знания в жизненных ситуациях.

Задачи на разрезание

трансформирование

дробление

квадрирование

Вывод: Работая с такими занимательными задачами, их построением, доказательством и анализом, развиваются навыки исследовательской работы, а умение правильно разрезать фигуры помогает рационально использовать эти знания в жизненных ситуациях.

Паркеты  В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют одну общую сторону.    Задача 1 Ответ Вывод: решение задач с закрашиванием плоскости позволяет усилить практическую направленность изучения школьного курса математики. Ответ Задача 2 Начертите прямоугольник размером 4x6 клеток. Покажите, как его «замостить» трехклеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник.

Паркеты В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют одну общую сторону.

Задача 1 Ответ

Вывод: решение задач с закрашиванием плоскости позволяет усилить практическую направленность изучения школьного курса математики.

Ответ

Задача 2

Начертите прямоугольник размером 4x6 клеток. Покажите, как его «замостить» трехклеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник.

Задачи на нахождение площадей фигур Способ подсчета клеток Применение формул площадей известных фигур  Разбиение фигуры на части Достраивание до прямоугольника (метод вычитания) По формуле Пика

Задачи на нахождение площадей фигур

  • Способ подсчета клеток
  • Применение формул площадей известных фигур
  • Разбиение фигуры на части
  • Достраивание до прямоугольника (метод вычитания)
  • По формуле Пика
1. Способ подсчета клеток   Площадь многоугольника равна сумме единичных квадратов На рисунке:  S1 =10 кв.ед.;  S2= 7 кв.ед.;  S3=12 кв.ед.; S4=12 кв.ед.

1. Способ подсчета клеток

Площадь многоугольника равна сумме единичных квадратов

На рисунке:

S1 =10 кв.ед.;

S2= 7 кв.ед.;

S3=12 кв.ед.;

S4=12 кв.ед.

2. Применение формул площадей известных фигур    a S1 = a b S2 =1/2 ( ab ) S3 = ah S1 b S2 a b S3 h a

2. Применение формул площадей известных фигур

a

S1 = a b

S2 =1/2 ( ab )

S3 = ah

S1

b

S2

a

b

S3

h

a

3. Разбиение фигуры на части S= S Δ + S  +  SΔ +  S  +  SΔ S =7+14+3+6+1=31 Способ разбиения на части Применяется: Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади Алгоритм: Разбить многоугольник на известные фигуры; Найти площадь каждой части (способ № 1 или № 2);  Найти сумму площадей  Записать ответ Преимущества: Подходит для произвольного многоугольника Недостатки: Трудоемкий S Δ= 1/2*2*7=7 кв.ед. S  =2*7=14 кв.ед. SΔ =1/2*2*3=3 кв.ед. S   =2*3=6 кв.ед. SΔ =1/2*2*1=1 кв.ед.

3. Разбиение фигуры на части

S= S Δ + S + + S +

S =7+14+3+6+1=31

Способ разбиения на части

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

  • Разбить многоугольник на известные фигуры;
  • Найти площадь каждой части (способ № 1 или № 2);
  • Найти сумму площадей
  • Записать ответ

Преимущества:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S Δ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

S =2*7=14 кв.ед.

=1/2*2*3=3 кв.ед.

S =2*3=6 кв.ед.

=1/2*2*1=1 кв.ед.

4. Достраивание до прямоугольника (метод вычитания) S= S  - S Δ - SΔ  –  SΔ S=42-7-3-1=31  Способ достраивания до прямоугольника Применяется: Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади Алгоритм: Достроить фигуру до прямоугольника; Найти площадь дополняющих фигур(способ №1 или №2);  Найти площадь прямоугольника  Вычесть из площади прямоугольника площади дополняющих фигур Преимущест-ва: Подходит для произвольного многоугольника Недостатки: Трудоемкий S   = 6*7=42 кв.ед. SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ =1/2*2*3=3 кв.ед. SΔ =1/2*2*1=1кв.ед.

4. Достраивание до прямоугольника (метод вычитания)

S= S - S Δ -

S=42-7-3-1=31

Способ достраивания до прямоугольника

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

  • Достроить фигуру до прямоугольника;
  • Найти площадь дополняющих фигур(способ №1 или №2);
  • Найти площадь прямоугольника
  • Вычесть из площади прямоугольника площади дополняющих фигур

Преимущест-ва:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S = 6*7=42 кв.ед.

SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

=1/2*2*3=3 кв.ед.

=1/2*2*1=1кв.ед.

5. По формуле Пика  S= В+ Г/2 – 1  В – количество внутренних узлов,  Г – количество граничных узлов. S= 26+ 12/2 – 1 = 31 кв.ед. По формуле Пика Применяется: Алгоритм: Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки Посчитать количество внутренних узлов (В); Посчитать количество граничных узлов (Г);  Посчитать площадь фигуры по формуле Пика  Записать ответ Преимущества: Недостатки: Универсальный -

5. По формуле Пика

S= В+ Г/2 – 1

В – количество внутренних узлов,

Г – количество граничных узлов.

S= 26+ 12/2 – 1 = 31 кв.ед.

По формуле Пика

Применяется:

Алгоритм:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки

  • Посчитать количество внутренних узлов (В);
  • Посчитать количество граничных узлов (Г);
  • Посчитать площадь фигуры по формуле Пика
  • Записать ответ

Преимущества:

Недостатки:

Универсальный

-

ЭКСПЕРИМЕНТ

ЭКСПЕРИМЕНТ

РЕЗУЛЬТАТЫ № задачи Способ нахождения площади фигуры, затраченное время на решение 1 По клеткам t, мин. 2 + - 3 1 По формулам известных фигур - 4 - - t, мин. + 5 Разбиение фигуры на части - - - 6 t, мин. + - - - 2 - - - 5 - - Метод вычитания - - - - - - t, мин + По формуле Пика - - - - - + 5 - - + - t, мин. + - - - 15 5 - + - + 7 - 15 + 7 + - 7 + 8 5 Вывод: из таблицы видно, что не использовался метод разбиения фигуры на части в связи с его трудоемкостью. Метод нахождения площади по формулам известных фигур вызывал трудности в части знания всех формул. Метод нахождения площади многоугольников по формуле Пика использовался во всех задачах, что говорит об его универсальности. Но при его использовании возникали сложности: метод не всегда дает точных результат из-за невозможности правильно определить количество внутренних и внешних узлов. Анализ результатов показал, что единого способа решения задач на нахождения площади многоугольников нет. Для каждой фигуры необходимо подбирать свой метод. И это еще раз подчеркивает актуальность моей работы: зная все способы решения таких задач, можно найти площадь любого многоугольника.

РЕЗУЛЬТАТЫ

задачи

Способ нахождения площади фигуры, затраченное время на решение

1

По клеткам

t, мин.

2

+

-

3

1

По формулам известных фигур

-

4

-

-

t, мин.

+

5

Разбиение фигуры на части

-

-

-

6

t, мин.

+

-

-

-

2

-

-

-

5

-

-

Метод вычитания

-

-

-

-

-

-

t, мин

+

По формуле Пика

-

-

-

-

-

+

5

-

-

+

-

t, мин.

+

-

-

-

15

5

-

+

-

+

7

-

15

+

7

+

-

7

+

8

5

Вывод: из таблицы видно, что не использовался метод разбиения фигуры на части в связи с его трудоемкостью. Метод нахождения площади по формулам известных фигур вызывал трудности в части знания всех формул. Метод нахождения площади многоугольников по формуле Пика использовался во всех задачах, что говорит об его универсальности. Но при его использовании возникали сложности: метод не всегда дает точных результат из-за невозможности правильно определить количество внутренних и внешних узлов. Анализ результатов показал, что единого способа решения задач на нахождения площади многоугольников нет. Для каждой фигуры необходимо подбирать свой метод. И это еще раз подчеркивает актуальность моей работы: зная все способы решения таких задач, можно найти площадь любого многоугольника.

Список использованной литературы: И.М. Смирнова, В.А. Смирнов Геометрические задачи с практическим содержанием М.: МЦНМО, 2015 Горина Л.В. Одна за всех… Формула Пика. Материал для самообразования учащихся.// Основа, №3 (27), с. 24-28. Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Линдгрен Г Занимательные задачи на разрезание. / Пер. с англ. Ю.Н. Сударева М.: Мир, 1977 Трошин В.В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. М.: Глобус, 2008 Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод.пособие. – М.: Глобус, 2009. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

Список использованной литературы:

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов Геометрические задачи с практическим содержанием М.: МЦНМО, 2015

Горина Л.В. Одна за всех… Формула Пика. Материал для самообразования учащихся.// Основа, №3 (27), с. 24-28.

Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002.

Линдгрен Г Занимательные задачи на разрезание. / Пер. с англ. Ю.Н. Сударева М.: Мир, 1977

Трошин В.В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. М.: Глобус, 2008

Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод.пособие. – М.: Глобус, 2009.

Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ