Разбор задания №20 ЕГЭ математика базового уровня (задачи на движение)

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 20

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 20 указывается « Умение решать текстовые задачи разных типов, решать уравнения»

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 15.

В подготовке к ЕГЭ по математике важны все три составляющие:

• знание теории;
• наличие практических навыков решения задач разных типов;
• умение увидеть решение и использовать знания из разных разделов для решения поставленной задачи

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

• задачи на движение:

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
• задачи на движение по воде,
• задачи на движение по замкнутой трассе,
• задачи на среднюю скорость,
• задачи на движение протяженных тел;

• задачи на производительность, совместную работу;
• задачи на смеси и сплавы
• задачи на проценты

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

• Анализ условия задачи (чтение задачи, определение типа задачи, выделение данных, которые известны и требуется найти)

• Схематическая запись задачи (рисунок, схема, чертеж)

• Поиск способа решения (определение связи между данными задачи, формул, составление плана решения задачи, приведение величин к «одинаковой» соразмерности, составление таблицы)

• Составление уравнения или системы уравнений как математической модели задачи (обозначить неизвестную величину через х, выразить через нее другие величины, найти зависимость между ними)

• Решение полученного уравнения или системы уравнений (запись решения и результата)
• Проверка решения

• Формулировка ответа

При решении этих задач принимают следующие допущения:

Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным.

Скорость считается величиной положительной.

Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считают происходящим мгновенно.

Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у , то скорость движения тела по течению считается равной ( х + у ), а против течения – равной ( х – у ).

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения:

S=V·t,

где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения (метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения

Задачи на движение:

Движение на встречу:

Движение вдогонку:

Движение по окружности

(замкнутой трассе):

Средняя скорость:

Задачи на движение

Встречное движение

v 1 v 2

t 1 t 2

s 1 t встр s 2

s

t 1 =t 2 =t встр . V сбл =v 1 +v 2 s=v сбл *t сбл

Объекты, начавшие двигаться навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время .

Движение в одном направлении

v1 v2

t1 t2

s1 s2

s

v сбл =v 1 -v 2 , s=s 1 -s 2 , s=v сбл *t встр

Движение в противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки:

а) одновременно;

б) в разное время.

А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

v удал. = v 1 + v 2 , где v 1 и v 2 соответственно скорости первого и второго тел.

(Схематический чертеж строится аналогично предыдущим).

Движение по воде

При движении по течению реки скорость объекта складывается из его скорости в стоячей воде и скорости течения реки. При движении против течения реки, скорость объекта равна разности скорости объекта в стоячей воде и скорости течения реки.

Движущийся плот всегда имеет скорость течения реки.

v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 . В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше. В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д. " width="640"

движение по замкнутой трассе

Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно

(v 1 v 2 соответственно), то 1-й велосипедист

приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 .

В момент, когда 1-й велосипедист

в первый раз догоняет 2-го,

он проходит расстояние на

один круг больше.

В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит

расстояние на два круга больше и т.д.

Движение протяжённых тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи.

Средняя скорость

Чтобы определить среднюю скорость при неравномерном движении, надо весь пройденный путь разделить на все время движения:

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

=

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

s

s

v

s = v · t

t =

v

s

s

х

1

х

0,5 s

0,5 s

1) 24

s

+

2

х + 16

2) х + 16

24

0,5 s

s

0,5 s

+ =

х

х + 16

24

0 , тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна x + 16 км/ч. Примем расстояние между пунктами за s . Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем: – не удовл-ет условию х 0 Ответ: 32. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, где х 0 , тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна x + 16 км/ч. Примем расстояние между пунктами за s . Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 32.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

s

s

v

s = v · t

t =

v

75

х

75

х

–

6 ч

75

х + 40

75

х + 40

75

75

– = 6

х

х + 40

0 , тогда скорость автомобилиста равна x + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем: – не удовл-ет условию х 0 Ответ: 10. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, где х 0 , тогда скорость автомобилиста равна x + 40 км/ч.

Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 10.

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

s

s

v

s = v · t

t =

v

88

х + 3

1

88

х + 3

–

3 ч

88

х

88

2

х

88

88

– = 3

х

х + 3

0 , тогда скорость первого велосипедиста равна x + 3 км/ч. Второй велосипедист был в пути на 3 часа больше, чем первый, отсюда имеем: – не удовл-ет условию х 0 Ответ: 8. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста, где х 0 , тогда скорость первого велосипедиста равна x + 3 км/ч. Второй велосипедист был в пути на 3 часа больше, чем первый, отсюда имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 8.

Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

s

v

s

t =

s = v · t

v

224

х – 1

224

х – 1

–

2 ч

224

х + 1

224

х + 1

224

224

– = 2

х – 1

х + 1

0 , тогда скорость лодки по течению реки равна х + 1 км/ч, скорость лодки против течения – х – 1 км/ч. Зная, что на путь по течению реки она затратила на 2 часа меньше, чем на обратный путь, имеем: – не удов-ет условию х 0 Ответ: 15. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, где х 0 , тогда скорость лодки по течению реки равна х + 1 км/ч, скорость лодки против течения – х – 1 км/ч. Зная, что на путь по течению реки она затратила на 2 часа меньше, чем на обратный путь, имеем:

– не удов-ет условию х 0

Ответ: 15.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

s

v

s

s = v · t

t =

v

247

16 + х

247

16 + х

+

39 – 7 = 32 ч.

247

16 – х

247

16 – х

247

247

+ = 32

16 + х

16 – х

0 , тогда скорость теплохода по течению равна 16 + х км/ч, скорость теплохода против течения равна 16 – х км/ч. Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа, имеем: – не удовл-ет условию х 0 Ответ: 3. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода, где х 0 , тогда скорость теплохода по течению равна 16 + х км/ч, скорость теплохода против течения равна 16 – х км/ч. Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа, имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 3.

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

s

v

s

s = v · t

t =

v

390

х

390

х

390

+

х + 3

390

9 ч

х + 3

390

390

= + 9

х + 3

х

0 , тогда скорость баржи на обратном пути (из В в А) равна х + 3 км/ч. Зная, что она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, имеем: – не удовл-ет условию х 0 Ответ: 10. " width="640"

Решение. Пусть x км/ч – на пути из A в B, где х 0 , тогда скорость баржи на обратном пути (из В в А) равна х + 3 км/ч. Зная, что она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 10.

Из двух городов, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

Из двух городов, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

75 км/ч

85 км/ч

320

Решение. Пусть t ч – время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 75t км, а второй – 85t км. Зная, что расстояние, пройденное автомобилями равно 320 км, имеем:

75 t + 85 t = 320

160 t = 320

t = 2

Ответ: 2.

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

180

А

В

300

Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля, выехавшего из города А. Расстояние, которое он проехал до встречи равно 300 – 180 = 120 км. Зная, что время движения автомобилей до встречи равно 2 ч, имеем:

2 х = 120

х = 60

Ответ: 60.

Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

70 км/ч

240

А

В

450

Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля, выехавшего из города А. Расстояние, которое проехал до встречи второй автомобиль равно 450 – 240 = 210 км.

Значит, время его движения равно 210 : 70 = 3 ч. Т.е. первый автомобиль был в пути на 1 час дольше – 4 ч, и проехал расстояние в 240 км, имеем:

4 х = 240

х = 60

Ответ: 60.

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

48 мин

А

В

S

s

t

v

s = v · t

s

х

s

х

–

3 ч

s

s

y

y

Решение. Пусть S км – расстояние между городами А и В. скорость мотоциклиста примем за х км/ч, а скорость велосипедиста за у км/ч. Мотоциклист затратил на весь путь на 3 часа меньше, чем велосипедист:

Они встретились через 48 мин = 0,8 часа после выезда:

Таким образом ,

0 Вернемся к исходной переменной: Таким образом , Откуда время движения велосипедиста равно 4 часам. Ответ: 4. " width="640"

Введем новую переменную:

– не удовл-ет условию z 0

Вернемся к исходной переменной:

Таким образом ,

Откуда время движения велосипедиста равно 4 часам.

Ответ: 4.

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300 метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300 метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

А

В

420

Решение. Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 300 м/мин или на

Пусть х км/ч – скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда х + 18 км/ч. На путь в 420 км товарный поезд тратит времени на 3 часа больше, чем скорый, отсюда имеем:

0 Ответ: 42. " width="640"

s

v

t

s = v · t

420

х

420

х

–

3 ч

420

х + 18

420

х + 18

Таким образом ,

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 42.

Расстояние между городами A и B равно 390 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 70 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Расстояние между городами A и B равно 390 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 70 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

70 км/ч

30 мин

S

C

А

В

390

Решение. Обозначим расстояние от А до С за S км, скорость автомобиля – за x км/ч. Тогда время движения на этом участке можно выразить уравнением:

для мотоциклиста

для автомобиля

0 Ответ: 210. " width="640"

А время движения автомобиля на всем участке от А до В:

для мотоциклиста

для автомобиля

– не удовл-ет условию S 0

Ответ: 210.

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 400 метрам?

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 400 метрам?

s

t

v

s = v·t

t

х

x · t

1

–

0,4км

t

( x + 0,5 ) · t

х + 0,5

2

Решение.

0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут

Ответ: 48.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого?

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого?

Решение. Пусть х  км/ч – скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго – х + 10  км/ч. Пусть через t  часов мотоциклисты поравняются в первый раз. Тогда расстояние, пройденное первым мотоциклистом:

S для 2 мотоциклиста

0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут

Ответ: 48.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

1 способ:

Пусть х  км/ч – скорость второго автомобиля. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 6 км больше, чем второй, отсюда имеем:

S для 2 автомобиля

2 способ:

За 40 минут первый автомобиль обогнал второй на 6 км, значит за 60 минут обгонит на 9 км, т.е. скорость второго на 9 км/ч меньше скорости первого, значит,

х = 114 – 9 = 105 км/ч

Ответ: 105.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 40 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 16 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 42 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 40 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 16 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 42 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть х  км/ч – скорость велосипедиста, у км/ч – скорость мотоциклиста. Тогда до первой встречи велосипедист проехал 40 + 16 = 56 мин = 14/15 ч , расстояние – 14/15·х км; мотоциклист проехал 16 мин = 4/15 ч , расстояние – 4/15·у км. Поскольку они проехали одно и тоже расстояние, получим:

14/15·х = 4/15·у

До второй встречи велосипедист проехал 56 + 42 = 98 мин = = 49/30 ч , расстояние – 49/30·х км; мотоциклист проехал 16 + 42 = 58 мин = 29/30 ч , расстояние – 29/30·у км, что на один круг больше, чем у велосипедиста, т.е.:

29/30у – 49/30х = 35

Ответ: 70.

Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

1 час

А

В

40

105

0 Ответ: 24. " width="640"

Решение.

Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч. Пусть х км/ч – собственная скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна х + 4 км/ч, а скорость яхты против течения равна х – 4 км/ч. Время, которое затратил плот на путь в 40 км равно 40 : 4 = 10 часов. Яхта, проделав путь из А в В и обратно, затратила на 1 час меньше, значит 9 часов.

Имеем:

– не удовл-ет условию х 0

Ответ: 24.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть t  ч – время, затраченное на весь путь; 0,5·t·67 км – первая часть пути, 0,5·t·85 км – вторая часть пути. Тогда среднюю скорость находим по формуле:

Ответ: 76.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

S

s = v · t

v

t

s

s

s

17

17

s

s

561

561

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть S км – весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:

Ответ: 33.

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

S

S

S

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

70 км/ч

90 км/ч

45 км/ч

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть 3S км – весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:

Ответ: 63.

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения.

Путь, пройденный автомобилем равен:

S = 2 · 120 + 1 · 100 + 2 · 95 = 530 км.

Затраченное на весь путь время:

t = 2 + 1 + 2 = 5 ч,

тогда средняя скорость равна:

v = 530 : 5 = 106 км/ч

Ответ: 106.

Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения.

Путь, пройденный автомобилем равен:

S = 180 + 200 + 180 = 560 км.

Затраченное на весь путь время:

t = 180 : 60 + 200 : 80 + 180 : 120 = 3 + 2,5 + 1,5 = 7 ч,

тогда средняя скорость равна:

v = 560 : 7 = 80 км/ч

Ответ: 80.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Скорость поезда равна:

За 45 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние равное своей длине:

Ответ: 1000.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метров, за 33 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

300

Решение.

Скорость поезда равна:

За 33 секунды поезд проходит мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда, и это расстояние равно :

Поэтому длина поезда равна 550 – 300 = 250  метров.

Ответ: 250.

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Скорость опережения товарного поезда пассажирским равна:

За 3 мин 9 секунд или 189 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их длин

Поэтому длина пассажирского поезда равна

1050 – 900 = 150  метров.

Ответ: 150.

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 300 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 28 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Скорость сближения поездов равна:

За 28 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть каждый из поездов преодолевает расстояние равное сумме их длин

Поэтому длина скорого поезда равна

1050 – 300 = 750  метров.

Ответ: 750.

Домашнее задание:

задачи на рабочем листе

Спасибо за урок!