Просмотр содержимого документа
«Задание 14. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов»
Задание 14. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.
Решение.
а) Плоскость BCF также будет проходить через точку G, лежащую по середине отрезка SD (см. рисунок), так как для плоскости должно соблюдаться
,
и
. В результате имеем прямую FG, являющуюся линией пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Спроецируем точку F на вектор AD, получим точку M, причем
. Аналогично построим проекцию точки F на вектор BC, получим точку N и
. В результате получили треугольник MFN, в котором угол
будет соответствовать углу между искомыми плоскостями. Найдем данный угол по теореме косинусов, получим:
.
Определим длины сторон треугольника MFN. Рассмотрим прямоугольный треугольник FBN, у которого сторона
, так как она является медианой равностороннего треугольника со сторонами 1. Длина
находится из равнобедренной трапеции FGBC. По теореме Пифагора находим катет FN:
.
Найдем теперь длину FM из прямоугольного треугольника AFM, в котором
,
(из равнобедренной трапеции AFGD) и по теореме Пифагора получаем:
.
Таким образом, косинус угла между плоскостями равен (здесь взят модуль, так как за угол между плоскостями берется острый угол)
и угол
.