Линейная функция. Решение практических задач.

№ п/п

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

ИКТ

I.

Орг. момент

Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

-Здравствуйте, ребята.

Наш сегодняшний урок я решила начать словами

великого русского математика Н.В. Лобачевского.

“Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира”. 

И сегодня я предлагаю вам в этом убедиться.
Но вначале давайте обратим внимание на систему координат под названием «График настроения».

Поставьте оценку своему настроению на начало урока и отложите листочки в сторону, вспомним про них в конце занятия.

А теперь возьмите маршрутный лист урока и впишите свои имя и фамилию. Вся наша с вами работа будет отражена в этом маршрутном листе.

Приветствуют учителя.

Слайд 1.

II.

Проблемная задача.

(Мотивация)

И, первое, что вы видите здесь, - это приглашение на лесную прогулку.

- Скоро лето – пора походов, путешествий… И я предлагаю вам немножко помечтать о таком путешествии.

Первую часть пути мы будем двигаться со скоростью 6 км/ч в течение полутора часов. Затем нас ожидает получасовой привал. И снова в путь. К озеру.

Нам предстоит за 1 час пройти 5 км.

Мамы будут волноваться, слать смс-ки с вопросами: Где вы находитесь? Как долго вам еще идти? Сколько км осталось до озера?

Если перевести их вопросы на язык математики, то они будут, например, такими:

а) На каком расстоянии от озера будет у нас привал?

б) На каком расстоянии от лагеря вы будете находиться через 2ч 15 мин после начала движения?

Не будем волновать мам, ответим на все их смс-ки. Но и задерживаться в пути для выполнения расчетов тоже не хочется.

Вы на уроках математики встречались с такими задачами. Подумайте, что поможет нам быстро оценить ситуацию и ответить обеспокоенным мамам на все их вопросы без лишних вычислений?

- Верно, построим график.

Но чтобы не ошибиться в построении графика, я предлагаю вам, работая в парах, записать условие задачи в таблицу.

- Сверим наши результаты.

По полученным данным построим график зависимости расстояния от времени.

-А теперь, я думаю, мы быстро сможем успокоить наших мам.

а) На каком расстоянии от озера будет у нас привал?

б) На каком расстоянии от лагеря вы будете находиться через 2ч 15 мин после начала движения?

- Помогла нам математика в такой обычной жизненной ситуации?

- А какие математические знания мы здесь применили?

График очень тесно связан с таким важным математическим понятием как функция.

- С какой функцией вы познакомились в этом учебном году на уроках алгебры?

-Что является графиком линейной функции?

-График состоит из отрезков прямых, т.е. отрезков линейных функций.

- График.

Заполняют таблицу:

Проверяют свою таблицу по слайду.

Один ученик у доски, остальные в тетради находят точки

(0; 0), (1, 5; 9), (2; 9), (3, 14).

Отвечают на вопросы задачи:

- Привал на расстоянии 5 км от озера.

- Через 2ч15 мин мы будем находиться на 10-ом километре.

-построение графика.

- Линейная функция.

- Графиком линейной функции является прямая.

Слайд 2.

Слайд 3.

Соединяем точки отрезками.

III.

Формулировка целей и постановка задач урока

Значит, для решения этой жизненной ситуации мы воспользовались знаниями о линейной функции. А давайте подумаем, часто ли в жизни вам придется применять эти знания? Помогут ли они вам в вашей будущей профессии?

- У нас возник небольшой спор. Часть ребят считает, что линейная функция им непременно пригодится, а другая часть уверена, что они будут успешными в своей проф. деятельности и без знаний о линейной функции.

Я предлагаю вам разрешить наш спор и выяснить, находят ли знания о линейной функции применение в практической жизни человека.

Какие задачи вы хотели бы сегодня порешать, чтобы исследовать именно практическое применение линейной функции?

-Попробуйте так сформулировать тему нашего урока, чтобы отразить и практическую направленность урока и применение линейной функции?

Высказывают свои мнения.

- Задачи с практическим содержанием.

Ученики предлагают варианты формулировки темы. Приходим к общему решению: «Решение практических задач с применением линейной функции».

Слайд 4.

IV.

Актуализация знаний.

Чтобы быть готовыми к исследованию, вспомним немного теории.

Мы уже говорили сегодня, что линейную функцию можно определить по графику. Каким еще способом можно задать функцию?

- На слайде представлены формулы функций. Укажите среди них линейные функции.

а)

б)

в)

г)

д)

Обоснуйте ответ.

-Функцию можно задать формулой.

Называют:

а, в, д.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, а -некоторые числа.

Слайд 5.

V.

Реализация целей урока, исследовательская работа.

Ну что ж, мы неплохо справились с теоретическими вопросами. Надеюсь, эти знания помогут нам в нашей дальнейшей работе.

Свои исследования мы проведем в творческих лабораториях, где вы попробуете свои силы и знания в различных профессиях. В вашей лаборатории будут работать врачи. Вам я предлагаю попробовать себя в роли инженеров, вам – в роли экономистов. А в этой лаборатории собрались филологи. Ну а здесь будут трудиться строители.

Каждая лаборатория получила пакет с документами.

Познакомимся с его содержанием:

1. Творческое задание;

2. Дубликаты задания для каждого исследователя;

3. Инструкция к исследовательской работе;

4. Бланк для записи результатов исследования.

Приступаем к работе (знакомство с заданием и его выполнение).

1)Лаборатория «Экономисты»

Задача

Транспортные фирмы «Метеор» и «Колесница» предлагают свои услуги по перевозке грузов.

Затраты на перевозку груза фирмой «Метеор» определяется формулой:

у₁ = 1000+4х

а фирма «Колесница» рассчитывает стоимость своих услуг по формуле:

у₂ = 2000+2х,

где х – расстояние в км,

у₁ и у₂ – стоимость перевозки в рублях.

На чертеже представлены графики этих функций.

С помощью графика выясните:

а) Как изменяются затраты на услуги каждой фирмы с увеличением дальности перевозки?

б) На какие расстояния выгоднее перевозить груз, пользуясь услугами фирмы «Метеор»?

в) Начиная с какого расстояния экономичнее становится транспорт «Колесница»?

г) Какие знания о линейной функции применили?

2) Лаборатория «Врачи»

Задача

На чертеже два графика. График I показывает зависимость количества бактерий от дня использования антибиотиков, график II – зависимость количества бактерий от дня заболевания (без использования лекарственных средств), Ответьте на вопросы (письменно):

1. Проследите, как изменяется количество бактерий у каждого больного.

2. В какой день количество бактерий у обоих заболевших будет одинаковым?

3. На какой день количество бактерий у заболевших будет равно 200 тыс. экземпляров?

4. Какие знания о линейной функции применили?

1. Лаборатория «Строители»

Задача

Требуется проложить водопровод длиной 53 метра к производственному объекту. Для этого располагают трубами одинакового сечения длиной 4 метра и 7 метров. Сколько труб той и другой длины понадобится для прокладки водопровода?

1. Лаборатория «Инженеры»

Задача

Зависимость массы стальной балки от объема выражается формулой: ,

Где

m – масса,

V – объем балки,

- плотность стали.

1. Заполните таблицу:

1. Постройте график зависимости массы стали от объема.

2. Что происходит с массой при увеличении объема балки?

3. С какой скоростью происходит изменение?

1. Лаборатория «Филологи»

Задача

Поставьте в соответствие пословицам графики функций.

Чем дальше в лес, тем больше дров.

Тише едешь – дальше будешь.
Кашу маслом не испортишь.
Что посеешь, то и пожнешь.

Ученики знакомятся с содержанием папок, изучают условие задачи и обсуждают решение.

Решение:

а) Затраты на перевозку увеличиваются с увеличением дальности перевоки.

б) При х

в) При х 500 выгодно пользоваться вторым видом транспорта.

Г) Чтение графиков линейной функции, взаимное расположение графиков.

По графику письменно отвечают на вопросы.

1. У I больного количество бактерий уменьшается, а у II увеличивается.

2. На 5-ый день кол-во бактерий будет одинаковым.

3. 100 тыс. экземпляров бактерий у первого больного будет на 6-ой день, а у второго больного - в первый день.

4. Чтение графиков линейной функции, взаимное расположение графиков.

0

Решение:

Х- количество труб длиной 7м

У – количество труб длиной 4м

Составим уравнение:

7х + 4у = 53.

Решим графически

Решения: Пары чисел – координаты точек на прямой.

По смыслу задачи полученный вывод абсурден: число труб не может быть ни отрицательным, ни дробным.

х и у натуральные числа . Находим целочисленные положительные координаты. Таких пар две (3; 8), (7; 1)

Решение:

m

V

Слайд 6.

Отчет о работе.

Мы достаточно потрудились в исследовательских лабораториях. Пора приступать к отчетам и обсуждению результатов. Сейчас представители каждой лаборатории познакомят нас со своей работой.

Мы внимательно изучаем их задачу, вносим необходимые записи в свой маршрутный лист.

Во время этой работы предлагаю всем подумать над таким вопросом:

Какой процесс происходит с величинами, рассматриваемыми в каждой задаче?

Задачи, которые мы сегодня рассмотрели на первый взгляд очень разнообразны. Но такие ли они разные по сути?

Какой процесс объединяет все эти задачи?

(Подвести учеников к выводу, что каждый процесс это изменение или движение с постоянной скоростью. Коэффициент к - скоость изменения)

Представители групп у доски знакомят с задачей и решением.

Ученики внимательно слушают. Делают необходимые записи в маршрутный лист.

1. Врачи

Изменение количества бактерий с одинаковой скоростью.

1. Экономисты

Изменение затрат на перевозку (равномерное)

1. Строители

Изменение количества труб (равномерное)

1. Инженеры

Изменение массы балки

1. Филологи

В каждой задаче мы наблюдали процесс равномерного изменения величины.

Линейная функция применяется для описания равномерно изменяющихся процессов.

VI.

Подведение итогов.

Мы прослушали отчеты каждой лаборатории. Вернемся к нашему спору. Что вы можете сказать?

Верно, чтобы стать успешным инженером, врачом, строителем надо знать линейную функцию и ее свойства.

Делают вывод о применимости линейной функции в профессиях.

VII.

Домашнее задание.

Проект по теме:

- «Линейная функция в моей будущей профессии»;

- «Линейная функция в профессии моих родителей»;

- «Линейная функция в жизненных ситуациях».

VIII/.

Рефлексия.

Вернемся к графику нашего настроения.

Поставьте оценку настроению на конец урока.

Проведите через две полученные точки прямые.

У кого получилась возрастающая функция?

Я очень рада, что наш урок смог поднять кому – то из вас настроение, кому –то поверить в свои силы.

У кого - убывающая?

Не огорчайтесь, если увидели, что ваших знаний о линейной функции у вас недостаточно, чтобы стать профессионалом своего дела. Все еще можно поправить: достаточно подучить теорию

У кого коэффициент к равен нулю?

Постоянство – хорошая черта, я очень надеюсь, что это не скука, а , напимер, радсть или вдохновение.

Не подскажите, в какой профессии мы только что вновь применили линейную функцию?

Как видите, в психологии линейная функция также находит свое применение.

Мы рассмотрели с вами самый простой вид траектории движения – прямая, а функция, задающая эту траекторию – линейная.

Движение может осуществляться по различным траекториям, по более сложным законам. Для их описания существуют другие математические модели. Знакомство с ними у нас еще впереди.