Линейная зависимость векторов

Пусть  произвольное линейное пространство. Перенесём в него знакомое из векторной алгебры понятие линейной зависимости векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все одновременно равные нулю, что линейная комбинация данных векторов с этими числами даёт нулевой вектор пространства :

(1)

Векторы называются линейно независимыми, если равенство (1) выполняется только при .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Показать, что в пространстве ( -мерном координатном пространстве) векторы

(2)

линейно независимы.

Решение. Действительно, линейная комбинация векторов (2) с числами в силу аксиом линейного пространства представляет собой вектор , который является нулевым лишь при условии . ♦

Пример 2. Рассмотреть вопрос о линейной зависимости в -мерном координатном пространстве произвольных векторов

(3)

Решение. Равенство нулю линейной комбинации этих векторов с числами

, (4)

записанное в координатной форме, приводит к однородной системе линейных уравнений относительно неизвестных :

. (5)

Однородная система (5) всегда имеет тривиальное решение

.

Если тривиальное решение является единственным, т.е. система (5)  а с ней и равенство (4)  удовлетворяется только с нулевым набором чисел , то векторы линейно независимы. Если же система (5) нетривиально совместна, т.е. кроме тривиального существует решение

,

то векторы линейно зависимы. Иначе: линейная зависимость векторов в пространстве и нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с неизвестными  это две стороны одной медали. ♦