Линейные и однородные дифференциальные уравнения. Методы их решения

Занятие 58. Тема «Линейные и однородные дифференциальные уравнения. Методы их решения»

План лекции:

1. Линейные дифференциальные уравнения

2. Метод решения линейных ДУ

3. Однородные дифференциальные уравнения

4. Метод решения однородных ДУ

Линейные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

1) В линейное уравнение входит первая производная  или .

2) В линейное уравнение входит произведение , где   - функция, а  – выражение, зависящее только от х.

3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от х. В частности, может быть константой.

Метод решения линейных ДУ (алгоритм)

Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой: , где и – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от х.

Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем и в наше уравнение, получим

Далее нужно сгруппировать два слагаемых, которые содержат u, и вынесем его за скобку. Получим (*)

Затем, используя условие , решим это уравнение, как уравнение с разделяющимися переменными. В итоге должны получить переменную , без добавления С в конце, то есть

Далее полученное подставляем в уравнение (*). Получаем,

– тоже уравнение с разделяющимися переменными. Его необходимо решить, используя u , в итоге найдем u с добавлением С в конце. Затем полученные u и v подставить в замену , получим общее решение данного уравнения.

Пример1. Решить уравнение:

Решение.

Пусть и . Тогда уравнение примет вид

(*)

проинтегрируем

=x

Далее возвращаемся к уравнению (*), подставляем туда =x, получаем

du=dx проинтегрируем

=

u=x+c

Таким образом, общее уравнение данного уравнения будет иметь вид

y=uv=(x+c)x=x²+xc

Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида , где f – функция.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка может иметь вид , если и - однородные функции одной и то же степени.

Функция называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство . В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство

Метод решения однородных ДУ(алгоритм)

Для решения однородных ДУ первого порядка применяется следующая замена y=tx ( ) и dy=tdx+xdt.

Если уравнение содержит , то необходимо сначала представить её в виде , затем умножить обе части уравнения на dx, чтобы избавится от дроби., затем производить замену.

Если уравнение не содержит , а имеет вид , то сразу нужно вводить замену.

После этих манипуляций, раскрыть все скобки, привести подобные слагаемые. Затем перенести в левую сторону все, что содержит dt, а в правую – что содержит dx. В итоге должны получить уравнение с разделяющимися переменными и решить его известным способом.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Пусть y=tx и dy=tdx+xdt . Тогда уравнение примет вид

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

Перенесем в левую сторону всё, что содержит dt, а в правую – что содержит dx. Получим

Вынесем в левой части за скобки всё, что можно

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем в левую часть все, что с , а в правую с х. Получим

Проинтегрируем

Вернемся к замене , . Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Задание на самостоятельную работу

- Ответить на контрольные вопросы письменно:

1. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением?

2. К какой замене сводится решение линейное ДУ?

3. Какое уравнение называют однородным дифференциальным уравнением?

4. К какой замене сводится решение однородного ДУ?

- Пользуясь этим и теоретическим материалом учебника П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2 глава IV §1 п.3 стр.123 и п.6 стр.130, решить следующие ДУ:

1.

2.