Линейные уравнения

Тема: Решение линейных уравнений.

1. Решение линейных уравнений базового уровня.

2. Решение линейных уравнений с модулем.

3. Решение линейных уравнений с параметрами.

1.Решение линейных уравнений базового уровня

Линейные уравнения - это уравнения вида ах=в, где a и b — числа, x — переменная.

Привести уравнение к линейному виду, используя свойства уравнений:

а) 3х – 11 = 5х + 7; б) 2 (х + 1) = 2х + 2; в) –8y + 11 = 8 (3 –y).

Решение:

а) 3х – 11 = 5х + 7; б) 2 (х + 1) = 2х + 2; в) –8y + 11 = 8 (3 – y);

3х – 5х = 7 + 11; 2х + 2 = 2х + 2; –8y + 11 = 24 – 8y;

–2х = 18; 2х – 2х = 2 – 2; – 8y + 8y = 24 – 11;

х = –9 0 · х = 0. 0 · y = 13.

а) a = –2; b = 18 – один корень х = –9.

б) a = 0; b = 0 – бесконечно много корней, так как равенство 0 · х = 0 верно при любом значении х.

в) a = 0; b = 13 – нет корней, так как равенство 0 · y = 13 неверно ни при каком значении х.

Вывод:

Линейное уравнение

ax = b, где х – переменная, a, b – любое число.

Если a не равно 0, то x =b:а ;

если а = 0 и b = 0, то х – любое;

если а = 0 и b не равно 0, то нет корней.

Задание:

Назовите коэффициенты a и b линейного уравнения ax = b. Сколько корней имеет уравнение:

а) 3х = 12; в) 1 x = –14; д) 0 • х = 0;

б) –3х = 18; г) 0 ∙ x = 10 ; е) –18х = –2?

2. Решение линейных уравнений с модулем.

Повторение.

Модуль положительного числа равен самому этому числу

ǀ5ǀ = 5, ǀ9ǀ =9

Модуль отрицательного числа равен числу противоположному

ǀ-5ǀ =5, ǀ-9ǀ =9

Модуль нуля всегда равен нулю

Уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, называют уравнением с модулем .

алгоритм решения

ǀхǀ =а, а 0

х = а или х = -а

ǀхǀ = 5

х = 5 или х = -5.

Примеры:

ǀх - 6ǀ = 3 ǀх - 6ǀ = 0 ǀх-6ǀ = -3

х – 6 = 3 или х – 6 = -3 х – 6 = 0 корней нет

х = 9 х = 3 х =6

Задание:

Решите уравнения :

ǀ2+хǀ = 4, ǀ2+хǀ = 0, ǀ2+хǀ =-7 .

3. Решение линейных уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение 6 +3х=2х +1. Заменим некоторые значения чисел буквами.

Например, в+ах = 2х+1.

Переменные а, в, и т.д. , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением с параметрами.

Решить уравнение – значит указать при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Примеры:

1) ах = 0

Данное уравнение ах =0 содержит параметр а

Если а = 0, то 0х = 0; х – любое число

Если а ≠ 0 , то х = 0;

2) ах = а

Данное уравнение содержит параметр а.

Если а = 0, то 0х = 0, х – любое число;

Если а ≠ 0, то х = а : а , х = 1.

3) х + 2 = ах

Данное уравнение также содержит параметра .

х - ах = -2

х (1 - а) = -2

Если 1 - а = 0, т.е. а = 1, то 0х = -2,

не имеет корней;

Если 1 – а ≠ 0, т.е. а ≠ 1, то уравнение имеет единственный корень

х = -2 : (1-а)

4) Решите уравнение 4 + ах = 3х + 1 .

Решите уравнение: 6 – (х – 3(2 – 5х) )= 10 - 16х. ( 0 *х = - 2, корней нет)

Решите уравнение: ǀ2х - 4ǀ+ х = 10, (х = - 6, х = 4 2/3)

Итоговый контроль

1в. 2в.

Решите уравнения: 1) ǀх - 4ǀ = 5 1) ǀ х – 2ǀ = 8

2) 5 + ах = 4х + 2 2) 4 + ах = 8х – 2