Логарифм числа. Десятичный и натуральный логарифмы, число е

Дисциплина

Математика

Специальность / профессия

09.02.07 Информационные системы и программирование

Тема занятия

Логарифм числа. Десятичный и натуральный логарифмы, число е

Содержание темы

Логарифм числа. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Свойства логарифмов. Операция логарифмирования.

Тип занятия

Комбинированное занятие.

Формы организации учебной деятельности

Фронтальная, индивидуальна.

Учебная и дополнительная литература

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Колмогорова.

11-е издание. М., «Просвещение», 2011г.

2. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, ТЕСТЫ,М., «Дрофа», 2012г.

Этапы занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

студентов

Планируемые образовательные результаты

Типы оценочных мероприятий

1. Организационный этап занятия

Организация начала занятия:

-Отметить отсутствующих

-Проверить готовность аудитории к уроку

-Ответить на вопросы студентов по домашнему заданию

-Постановка целей и задач урока

-План работы на уроке.

Записывают тему урока. Проверяют наличие на столах раздаточного материала.

ОК 01.

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности

2. Основной этап занятия

Актуализация знаний

Самостоятельная работа на 2 варианта с последующей взаимопроверкой. У доски 2 человека на закрытых досках

Вычислить:

В 1 В 2

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

6) 6)

7) 7)

8) 8)

9) 9)

10) 10)

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-07

Студенты проверяют работы своих товарищей и ставят оценку по предложенному критерию оценки.

Выяснить, кто из студентов не справился с работой.

Представить числа в виде степени числа 2:

1, 2, 4, 8, , , 5

Добиться формулировки задачи:

Найти показатель степени, в который нужно возвести число 2, чтобы получить данное число.

Формулируется проблема: Не удается найти показатель степени числа 2, чтобы получить 5.

Итог актуализации знаний:

В процессе решения некоторых задач возникает необходимость найти показатель степени и устно это сделать не всегда удается. Необходимо изучить новый аппарат для решения этой задачи.

Работают студенты, которые не справились с работой

Студенты должны понимать, что такой показатель существует

ОК-01, ОК-02,
ОК-03, ОК-04, ОК-05

Устная работа

Мотивация учебной деятельности

В течении XVII века резко возрос объем работы, связанной с произведением вычислений. Развитие мореплавания требовало знаний по астрономии, в частности решение задач на определение положения судов по звездам и солнцу. Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления. Ведь приходилось оперировать огромными числами. Поэтому открытие логарифмов облегчило задачу вычислителей многих поколений.

Ведь с помощью логарифмов умножение и деление можно заменить сложением и вычитанием. Изобретателем логарифмов стал английский математик Непер Джон (1550 – 1617гг). Он также составил первую таблицу логарифмов.

Это открытие оказало большое влияние на развитие приложений математики. Сейчас логарифмы прочно вошли в практику и применяются не только в математике, но и в общетехнических и специальных дисциплинах.

Изучение нового материала

2^х=8

Какие значения должен принимать х, чтобы равенство было верным?

Х=3, т.к. 2³=8. (1)

2 – основание степени,

8 – значение степени

3 – показатель степени

Решая эту задачу, мы искали показатель, что по-другому называется логарифм.

Иначе, это записывается так:

(2)

И читается, логарифм числа 8 по основанию 2 равен 3.

Где, 2 – основание логарифма,

8 – выражение, стоящее под логарифмом,

3 – значение логарифма.

Записи (1) и (2) обозначают одно и то же.

Т.е., чтобы вычислить логарифм 8 по основанию 2, мы должны найти такой показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8! Это число – 3

Попробуйте вычислить:

Т.е., чтобы вычислить логарифм 25 по основанию 5, мы должны найти такой показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25! Это число – 2. Значит и значение данного логарифма равно – 2.

А теперь рассмотрим в общем виде:

ОК-01, ОК-02,
ОК-03

Опр: Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число в. (а0, а1)

; если

Подставим вместо х во второе равенство его значение, получим:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством

Вставить вместо точек число:

, т.к. 2^…=16

, т.к. 2^…=

, т.к. 2^…=1

, т.к.

, т.к. 4^…=4

Разбор примеров устно, проговаривая запись.

Представить выражение в виде степени:

Записать в виде логарифма:

Вычислить:

Выходят по очереди к доске, записывают и учатся правильно читать.

Логарифм по основанию 10, называется десятичным логарифмом и обозначается lgx

Логарифм по основанию e, называется натуральным логарифмом и обозначается lnx.

e – иррациональное число,
е2,718281828459045

1. lg10=1, т.к. 10¹=10

2. lg1=0, т.к. 10⁰=1

3. lne=1, т.к.e¹=e

lne⁵=5, т.к.e⁵=e⁵

Вычислить:

Чтобы вычислить логарифм, нужно правильно задать себе вопрос: В какую степень надо возвести…, чтобы получить…?

Задания выполняют по уровням.

Кто хорошо понял - №7-12

Остальные –

№1-6 (у доски 2 человека)

ОК-01, ОК-02,
ОК-03

Сопровождать пояснением.

Свойства логарифмов

Формулы логарифмирования:

Формулы потенцирования:

Формула перехода от одного основания к другому:

1. ,

2. 

3. 

4. 

Доказать формулу №10 (сильный студент)

ОК-01, ОК-02,
ОК-03; ОК-04, ОК-05

Найдите х:

Преобразуем правую часть равенства, используя свойства логарифмов (формулы потенцирования):




Так как в левой и правой части равные выражения, стоящие под логарифмом по одинаковому основаниюможно отбросить логарифмы. Такая операция называется потенцированием.

Найдите х:

Прологарифмировать выражение:

Подпишем в левой и правой части логарифм по одинаковому основанию. Основание может быть любым. Для упрощения записи возьмем десятичный логарифм:

Для преобразования правой части использовались свойства логарифмов (формулы логарифмирования).

Прологарифмировать выражение:

ОК-04, ОК-05

3. Заключительный этап занятия

Вначале урока мы поставили проблему:

Найти показатель степени, в который надо возвести число 2, чтобы получить число 5.

Как по-другому можно сформулировать эту задачу?
(Найти )

Можем ли мы сами подобрать такое число? (Нет)

Вот для этого и существуют наши электронные помощники – ПМК!

Но какие логарифмы можно вычислять с помощью калькулятора? (натуральные и десятичные)

Какой же выход мы можем найти в этой ситуации? (перевести к логарифму с основанием 10 или e с помощью формулы перехода от одного основания логарифма к другому)

(это иррациональное число)

Учатся вычислять логарифмы на калькуляторах.

ПК1.1, ПК1.2

Подведение итогов работы; фиксация достижения целей (оценка деятельности обучающихся); определение перспективы дальнейшей

работы

Подводит итог занятия. Объявляет оценки.

Проводит рефлексию:

ОК 06

Комплексная оценка за все этапы урока

4. Задания для самостоятельного выполнения

1) Выучить определение и свойства логарифмов

2) Доказать свойство 9 и 11

3) Вычислить:

4) Найти х: