Логарифмы и их свойства

1

Л О Г А Р И Ф М Ы И И Х С В О Й С Т В А .

Возведение в степень имеет два обратных действия. Если

а х = b ,

(1)

то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое,

л о г а р и ф м и р о в а н и е.

Для чего были придуманы логарифмы ?

Конечно, для ускорения и упрощения вычислений.

Дальше

2

Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорил о своих побуждениях:

Непер

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера:

«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление».

Дальше

3

Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:

«Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».

Великий математик говорил об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

Дальше

0, а ≠1). Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так: Log a b = x (читается: «логарифм b по основанию a»). Например, log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25. Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16. Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27. Дальше Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9. " width="640"

4

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить b (где а 0, а ≠1).

Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b

Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так:

Log a b = x

(читается: «логарифм b по основанию a»).

Например,

log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.

Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16.

Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27.

Дальше

Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9.

5

Вычислить :

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0/5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Дальше

6

Сравните со своими ответами !

Таблица ответов.

4

6

0

1

-1

3

4

-3

0

5

-2

1

-2

-1

1

3

0

-1

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Если Вы всё выполнили верно, перейдите к слайду 8. Если выполнили с ошибками – перейдите к слайду 7.

К слайду 8

К слайду 7

7

Правильное решение примеров 1 столбца:

Log 2 16 = 4, так как 2 4 = 16.

Log 2 1 = 0, так как 2 0 = 1.

Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27.

Log ½ 1/32 = 5, так как (1/2) 5 = 1/32.

Log 0,5 (1/2) = 1, так как (0,5) 1 = (1/2) 1 = ½.

Проверьте 2 и 3 столбец, исправьте ошибки самостоятельно. Если появились вопросы – обратитесь к учителю.

Дальше

Назад к ответам

0, а 0, а≠1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. Например: 2 log 2 6 = 6; 3 – 2 log 3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25. Вычислите: 3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ; 5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ; 10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ; 8 log 2 5 ; 9 log 3 12 . Дальше " width="640"

Определение логарифма можно записать так:

8

a log a b = b

Это равенство справедливо при b 0, а 0, а≠1. Его обычно называют

основным логарифмическим тождеством.

Например: 2 log 2 6 = 6; 3 – 2 log 3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25.

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

Дальше

9

Сравните со своими ответами !

Таблица ответов:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

18

32

16

36

2

6

125

144

Если Вы выполнили всё правильно, перейдите к слайду 11. Если выполнили с ошибками, откройте слайд 10 и разберите решение.

К слайду 10

К слайду 11

10

Правильное выполнение некоторых заданий.

По основному логарифмическому тождеству 3 log 3 18 = 18

8log 2 5 = (2 3 ) log 2 5 = 2 3log 2 5 = ( 2 log 2 5 ) 3 = 5 3 = 125

0,3 2log 0,3 6 = 0,3 log 0,3 6 = 0,3 log 0,3 36 = 36.

2

Остальные задания проверьте ещё раз самостоятельно. Если появился вопрос – обратитесь к учителю.

Дальше

Назад к ответам

11

С В О Й С Т В А Л О Г А Р И Ф М О В .

Log a 1 = 0; log a a = 1; log a (1/a) = - 1; log a a m = m;

Log a m a = 1/m.

ОСНОВНЫЕ

СООТНОШЕНИЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

СООТНОШЕНИЯ

Логарифм произведения:

Log c (ab) = log c a + log c b .

Логарифм частного:

Log c (a/b) = log c a – log c b.

Логарифм степени:

Log c a k = k log c a.

Переход к новому основанию:

Log b a = log c a / log c b.

Log a b = 1/ log b a,

Log a m b n = n/m (log a b).

Дальше

12

Приведем примеры применения формул:

• Log 6 18 + log 6 2 = log 6 (18 · 2) = log 6 36 = 2
• Log 12 48 – log 12 4 = log 12 (48/4) = log 12 12 = 1

А здесь выполните вычисления самостоятельно:

Log 10 5 + log 10 2;

Log 12 2 + log 12 72;

Log 2 15 – log 2 (15/16);

Log 1/3 54 – log 1/3 2;

Log 5 75 – log 5 3;

Log 8 (1/16) – log 8 32;

Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20;

Log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;

Дальше

13

Примеры выполнения некоторых заданий…

И таблица ответов:

1

2

4

-3

2

-3

4/3

3/2

Log 10 5 + log 10 2 = log 10 (5 . 2) = log 10 10 = 1

Log 1/3 54 – log 1/3 2 = log 1/3 (54/2) = log 1/3 27 = -3

Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 = log 8 (12/15) + log 8 20 =

= log 8 (4/5 . 20) = log 8 16 = 2

Остальные задания проверьте самостоятельно. Если появился вопрос, обратитесь к учителю.

Дальше

14

* Вычислите :

После выполнения этого задания обратитесь к учителю.

дальше

15

Домашнее задание.

Если со всеми предложенными заданиями Вы справились без ошибок, то Ваше домашнее задание:

п.37, № 489, № 490, № № 495(b,в), №496(b,в,г).

Если при выполнении предложенных заданий Вы испытывали затруднения и не смогли всё выполнить правильно, то Ваше домашнее задание:

п.37, № 476, № 483(b,в), № 488, № 495(b,в).

К началу

Дальше

16

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ.

Дальше

17