Логарифмы в музыке

Связь логарифмов с музыкой

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами,

как логарифмы .

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

Джон Непер (1550—1617)

Йост Бюрги (1552—1632)

Термин « логарифм» (logarithmus)  принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов:  logos – «отношение»  и  ariqmo – «число» , которое означало  «число отношений» . Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты.

Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

Логарифм и восприятие звука

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику.

Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, голоса.

Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию.

Сила звука – это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина, как это ни странно выглядит, не выражает величины нашего звукового ощущения – громкости. Мы стали слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, они показались нам отличающимися по громкости. Мы заинтересовались этим. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты .

Мы провели эксперимент, стали увеличивать силу звука в 2, 3, 4 раза, оказалось, что наше звуковое ощущение (громкость звука) во столько же раз не увеличивается.

В 1846 физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. В 1860 году ученый Фехнер подверг закон Вебера математической обработке, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: это видно из формулы

,

- ощущение ,

где

– первоначальное раздражение ,

– последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности.

Действительно, при увеличении силы звука в 100, 1000 и т. д. раз ощущение увеличивается в 2, 3 и т. д. раза (при k = 1).

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов . Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии.

С введением этого строя в музыке

Восторжествовала темперация

(от лат. соразмерность).

Октава

Септима

Секста

Квинта

Кварта

Терция

Секунда

Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная  п  колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2 п  колебаний в сек., а ноте “до” третьей октавы - 2 m  ·  п колебаний в сек. И так далее. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой

N mn  = n · 2 ( 12 v2) p

Логарифмируя эту формулу получаем:

lg N mp  = lg n + m lg2 + p(lg2)/12,

lg N mp  = lg n + (m + p/12) lg2

Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем log 2  N mp  = Севастьян Бах Прелюдия Фуга “до – минор”.

Физик, профессор Эйхенвальд писал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь Пифагорова-то гамма и оказалась неприемлемой для нашей музыки. Представьте, как не приятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»