Логарифмы вокруг нас

Логарифмы вокруг нас

                                 Изобретение логарифмов, сократив                                                   работу астронома, продлило ему жизнь.                                                                                                П.С.Лаплас

Проектно-исследовательская работа

Авторы работы: Ульбашев М., Чабдаров И.,Баов А,Пушкарев В.

Руководитель:Туменова Ф.Х.-учитель математики

Цель исследования:

- показать, что логарифмы нужны не только на уроках математики но, могут быть использованы и в других областях.

Задачи исследования:

-узнать историю открытия логарифма

-показать практическую значимость логарифмов для окружения

_ рассмотреть практическое применение логарифма.

.

Объект исследования: логарифмическая функция Предмет исследования: математическая модель того или иного явления через обращение к логарифмической спирали. Актуальность работы: Многие из нас сталкивались с таким термином, как «Логарифм», но мало кто знаком с историей его появления, и мало кто знает о практической значимости этого понятия. Данный проект расширит представление людей о логарифмах и поспособствует развитию познавательного интереса. Проблема: Практическая значимость логарифмов для окружающего мира.

Гипотеза: Я тоже задумался над этим  и решил узнать мнения старшеклассников по этому вопросу. Результаты меня озадачили. 51% десятиклассников и 64%  одиннадцатиклассников считают, что логарифмы не нужно изучать. Так может быть они действительно не нужны?

Исторические сведения

• Дело в том, что изобретением логарифмов мы обязаны Джон Дело в том, что изобретением логарифмов мы обязаны Джону Неперу- шотландскому математику- шотландскому математику. Работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» появилась в 1614 году, а в 1629 году были напечатаны логарифмические таблицы швейцарского математика, астронома и часовщика Иобста Бюрги, которые были написаны еще в 1610 году! Эти ученые, работая параллельно, пришли к похожим результатам!

Логарифм

Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более, скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.  Знак log был введен в 1624 году И. Кеплером . На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера. Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса. 

Пример.          Мы положим на счет в банк 100  рублей  под 10% годовых.  Через 1 год сумма будет равна (составит) 100 (1+10/100) = 110 рублей Через 2 года сумма составит 110 (1+10/100) = 121 рубль Через три  года  сумма будет равна 121 (1+10/100) = 133,1 рубля  (и т.д.)       1         2          3        …n                110    121    133,1     …        100(1+10/100) n Из формулы расчета сложного процента можно выразить и количество лет (месяцев). Например сколько потребуется лет, чтобы 50000 руб. нарастились до 1000000 рублей при процентной ставке 40%. n=log (1+p/100) (S n /S 0 ) n=log (1+40/100) (1000000/50000)=8.9лет

Применение логарифмов в различных областях жизни

• В течение 16 в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач. Наибольшие проблемы возникали, при выполнении операций умножения и деления. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и делений чисел к сложению их логарифмов, по мнению Лапласа, удлинила жизнь вычислителей.
• По – истине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений.

Логарифмическая спираль

Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.  Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь  людям узнать больше об окружающем мире , познать его закономерности и  тайны. Ряд явлений природы помогает описать  логарифмическая зависимость. Иначе говоря,  математики , пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.  Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. 

Логарифмическая зависимость в природе Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как горные козлы (архары), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины.

Один из наиболее распространенных пауков-эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности Галактика,

которой принадлежит Солнечная система. 

В технике часто применяют вращающиеся ножи.

Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резанья,

т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения.

Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение,

а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали.

Величина угла резания зависит от  обрабатываемого материала.

Звезды, шум и логарифмы

Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

При оценке видимой яркости светил и при  измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической

зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения.

Оказывается, что оба эти явления – следствия общего психофизического закона Вебера - Фехнера,

согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения.

Как видно, логарифмы вторгаются и в область психологии. 

Логарифмы в живописи и на животноводческой ферме

Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники. Геометрические мотивы нередко присутствуют в картинах великих живописцев. Геометрические схемы с большей или меньшей очевидностью в самой композиции многих полотен. Их можно назвать пирамидальными, круговыми, диагональными, спиральными и т.п. в зависимости от той геометрической фигуры, которая положена в основу композиции. Художник при этом часто действует интуитивно, а искусствовед, исследуя композицию, выявляет её основу, приводя картину к упрощенной геометрической схеме.

.

Логарифмы можно встретить и на животноводческой ферме.

Рассчитаем количество так называемого "поддерживающего" корма (т. е. то наименьшее количество его, которое лишь пополняет траты

организма на теплоотдачу, работу внутренних органов, восстановление отмирающих клеток и т. п.)* пропорционально наружной

поверхности тела животного. Зная это, определим калорийность поддерживающего корма для вола, весящего 420 кг, если при тех же условиях если при тех же условиях вол 630 кг весом нуждается в 13500 калориях. Чтобы решить эту практическую задачу из области животноводства, понадобится, кроме алгебры, привлечь на помощь и геометрию. Согласно условию задачи искомая калорийность х пропорциональна поверхности (s) вола, т. е.

х:13500 = s : s 1 ,

Из геометрии мы знаем. Что поверхности подобных тел относятся. Как квадраты их линейных размеров, а объемы –как кубы линейных размеров

С помощью логарифмических таблиц находим: х = 10300. Вол нуждается в 10300 калориях. * (В отличие от "продуктивного" корма, т. е. части корма, идущей на выработку продукции животного, ради которой оно содержится.)

Применение логарифма в различных областях жизни

Логарифмы в музыке

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах...»

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов.

Логарифмы  – это все! Музыка и звуки! И без них никак нельзя обойтись науке!

Что-то физики в почете

Что-то лирики в загоне.

Дело не в сухом расчете,

Дело в мировом законе.

Значит, слабенькие крылья-

Наши сладенькие ямбы,

И в пегасовом полете

Не взлетают наши кони…

То-то физики в почете,

То-то лирики в загоне.

Это самоочевидно.

Спорить просто бесполезно.

Так что даже не обидно,

А скорее интересно

Наблюдать как словно пена

Опадают наши рифмы,

И величие степенно

Отступает в логарифмы.

Борис Слуцкий.

Борис Абрамович Слуцкий

• родился в Славянке.
• Окончил Литературный
• институт им. Горького в1941г.

После смерти поэта были

опубликованы его дневники и стихи

ранее нигде не публиковавшиеся

Логарифмы в поэзии

• Было бы странно не встретиться с логарифмами в поэзии. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи - это "математика слова".

28 ноября 1880 – 7 августа 1921 гг.

• Так, многообразие применения функций вдохновили английского поэта Элмера Брилла написать "Оду экспоненте".

• «…Ею порождено многое из того, Что достойно упоминания», Как говорили наши  Англосаксонские предки. Могущество её порождений Заранее обусловлено ее Собственной красотой и силой, Ибо они суть физическое воплощение Абстрактной идеи её. Английские моряки любят и знают ее Под именем «Гунтер».  Две шкалы Гунтера – Вот чудо изобретательности. Экспонентой порождена Логарифмическая линейка: У инженера и астронома не было Инструмента полезнее, чем она. Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов? И таким образом абстрактно красивое Стало предком одного из величайших Человеческих достижений».

Логарифмы в современной поэзии

• Есть поэты, которые не посвящали од логарифмам, но упоминали их в своих стихах, например, в современной поэзии:

Вот вы когда-нибудь слыхали О логарифмической спирали? Закручены по ней рога козлов, И не найдете вы на них нигде узлов. Моллюсков многих и улиток Ракушки тоже все завиты .

Логарифмы, логарифмы... Много формул, мало "рифмы". Основания, константы... Много разных вариантов. И решения похожи, Но с ответами не схожи. Слёзы, стресс и всё такое... Может мы решим другое?

Друзья, поверьте: самая интересная, полезная и лирическая Это – функция логарифмическая. Спросите вы: "А чем интересна?" А тем, что обратна она показательной И относительно прямой y = x, как известно, Симметричны их графики обязательно. Проходит график через точку (1;0) И в том еще у графика соль, Что в правой полуплоскости он "стелется", А в левую попасть и не надеется. Но, если аргументы поменяем, Тогда по правилам кривую мы сдвигаем, Растягиваем, если надо, иль сжимаем И относительно осей отображаем. Сама же функция порою убывает, Порою по команде возрастает. А командиром служит ей значенье α, И подчиняется она ему всегда.

Звучит так чувственно и нежно Святое слово "логарифм"; Пусть не понять того вам, грешным, - Оно прекрасней всяких рифм! Подобны логарифмы шторму, Их море - грозный интеллект. Какая логика из формул! Что лучше создал человек? Да, логарифм - одна из маний, Что в сердце мне не утаить... И никаких нет оснований Их основанья не любить!  Решенья их мне словно дети, Которых всей душой растишь. Пишу я с трепетом в ответе: Один остался корень лишь! Пускай я ошибусь в расчетах, Дискриминант не тот - и пусть! Ведь дело здесь не в недочетах, Хоть сотню раз я ошибусь. Смотрю я на искусство шире, Когда искусство - логарифм, Что лучше песен всяких в мире, Что лучше самых разных рифм!

Логарифмы в живописи

Логарифмы в физиологии

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом. Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула — громкости звука, яркости света.

Логарифмы в психологии

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений.

Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, то есть величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приёмы точной числовой оценки громкости шума.

Логарифмы в механике и физике

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Логарифмы в химии

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар

Людвиг  Больцман

  (1844-1906)

Циолковский К.Э.

17 сентября 1857 –

19 сентября 1935 гг.

Вальтер ГерманНерст

25 июня 1864 г.- 18 ноября 1941 г.

Логарифмы в спорте  

Олимпийская система  или  плей-офф  (англ.  playoff ) в спортивных соревнованиях — система розыгрыша (организации соревнований), при которой участник выбывает из турнира после первого же проигрыша (по итогам одной игры или серии из нескольких игр между двумя участниками, позволяющей однозначно определить безусловного победителя). Обеспечивает выявление победителя за минимальное число туров и способствует напряжённой борьбе в турнире.  

Заключение

В данной работе нами была рассмотрена тема «Логарифмы вокруг нас», которая включает в себя вопросы об истории развития логарифмов, а также о логарифмической зависимости в окружающем нас мире.

Мы поняли, что понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках и используется для изучения различных природных явления. 

Логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений, именно поэтому поэты и писатели не могли не отметить ее значимость в своих творениях. Сведения, собранные нами в данной работе, - это далеко не всё, что можно рассказать о логарифмах. Обратимся еще раз к  основной идее. Мы, обучаясь в школе, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь , тем более полноценными людьми будем себя ощущать.

Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной. Мы постарались проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показал применение логарифмов в современном мире. Я считаю, что мне удалось доказать актуальность данной темы на современном этапе развития  математики , так как вопросы о логарифмах важны для познания окружающего мира.

Рассматривая, как применяется логарифм в различных областях науки и жизнедеятельности человека, мы еще раз убеждаемся в том, что математика — это универсальный язык, используя который, как инструмент познания мира, можно увидеть в нем гармонию, красоту, а самое главное проявление закономерности в вещах, на первый взгляд никак не совместимых.

Спасибо за внимание!