Логические переменные и выражения.

Tema lecției „Concepte de bază ale algebrei logicii. Expresii logice și operații logice.” «Основные и логические понятия алгебры логики. Логические выражения операции».

a pregătit

un profesor

de informatică

IP LTMT S.DEMIREL

Radova A.F.

Obiectivul lecției:

1. Cunoașterea operațiunilor logice și prioritatea executării acestora;

2. Dezvoltarea deprinderilor în compunerea expresiilor logice corespunzătoare enunţurilor complexe.

3. Capacitatea de a determina adevărul afirmațiilor complexe legate de înmulțirea logică, adunarea și negația

Цель урока:

1. Знакомство с логическими операциями и приоритетом их выполнения;

2. Отработка умений составления логических выражений, соответствующих сложным высказываниям.

3. Умение определять истинность сложных высказываний, связанных логическим умножением, сложением и отрицанием

Обратите внимание слово ЛОГИКА в сочетание со словом АЛГЕБРА.

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными латинскими буквами, например a, b, x, y и т.д.

Ce studiază algebra? (Что же изучает алгебра? )

Что же изучает алгебра?

• числа,
• числовые величины,
• числовые выражения,
• также правила выполнения действий над ними

Ce studiază logica?

Логика – (от древнегреч. - слово, мысль, понятие, рассуждение, закон) - наука о законах и формах мышления (понятие, высказывание, умозаключение).

Давайте попробуем понять, чем же занимается алгебра логики!?

Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями. Основы данной алгебры были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке, также её называли булевой алгеброй.

Давайте вспомним, что же такое высказывание?

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Să stabilim împreună cu dumneavoastră ce propoziție putem numi o afirmație logică.

Exemplul 1.

„ Chișinăul este capitala Republicii Moldova.”

Este posibil să spunem fără ambiguitate despre această afirmație dacă este „adevărat” sau „fals”? Da, putem. Această afirmație este „adevărată”, deci poate fi numită o declarație logică.

„ Informatica este un subiect interesant.”

În ceea ce privește această afirmație, este imposibil să spunem fără echivoc dacă este „falsă” sau „adevărată”. Unora le place informatica, altora le este indiferentă, iar altora nu le place deloc.

Exemplul 2.

Determinați adevărul afirmațiilor.

 Triunghiul este o figură geometrică.

 Fiecare cal are o coadă.

 Paris este capitala Chinei.

 Gheața este starea solidă a apei.

 Toți oamenii sunt astronauți.

Пример 1.

Давайте определим с вами, какое предложение мы можем назвать логическим высказывание.

«Кишинев – столица РМ».

Можно ли в отношении этого высказывания однозначно сказать «истинно» оно или «ложно»? Да, можно. Данное высказывание «истинно», поэтому его можно назвать логическим высказывание.

«Информатика – интересный предмет».

В отношении этого высказывания нельзя однозначно сказать «ложно» оно или «истинно». Кому-то информатика нравится, кто-то к ней равнодушен, кто-то вообще не любит.

Пример 2.

Определите истинность высказываний.

•  Треугольник – геометрическая фигура.
•  У каждой лошади есть хвост.
•  Париж - столица Китая.
•  Лед – твердое состояние воды.
•  Все люди космонавты.

Основные понятия логики.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С), которые могут принимать значения истина (1) или ложь (0).

Истина, ложь – логические константы.

Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ», которые в алгебре логики заменяются на логические операции.

Логические операции.

Рассмотрим три основные (базовые) логические операции.

1. Отрицание или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом ¬ , ¯.

Пусть A – Сейчас на дворе лето.

A ¬A

1 0

0 1

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

2. Конъюнкция( логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И.

Эта операция обозначается символами & и .

Правила выполнения логической операции отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности:

A B A&B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Вывод: логическая операция «конъюнкция» истинна тогда и только тогда, когда оба логических выражения истинны.

3. Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V.

Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.

Обозначим через A - летом я поеду в лагерь, B – летом я поеду в к бабушке.

AVB - Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке.

A B AVB

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Вывод: Логическая операция «конъюнкция» ложна тогда и только тогда, когда оба простых высказывания ложны, в противном случае она истинна.

Тема урока 2: Логические выражения и таблицы истинности

Tema lecției 2: Expresii logice și tabele de adevăr

Obiectivul lecției:

Înțelegeți: că expresiile logice sunt formule, că adevărul unei expresii logice formate folosind operații logice poate fi stabilit cu ajutorul tabelelor de adevăr;

Cunoaște: regulile de construire a tabelelor de adevăr; cum să folosiți un tabel de adevăr pentru a determina adevărul unei expresii logice;

să poată: înlocui orice instrucțiuni cu variabile logice; construiți tabele de adevăr; calculați valoarea unei expresii logice.

Цель урока:

понимать: что логические выражения - это формулы, что истинность логического выражения, образованного с помощью логических операций, можно установить, используя таблицы истинности;

знать: правила построения таблиц истинности; как по таблице истинности установить истинность логического выражения;

уметь: заменять любые высказывания логическими переменными; строить таблицы истинности; вычислять значение логического выражения.

Актуализация знаний и проверка усвоенного материала:

1). Care sunt principalele forme de gândire?

2). Ce studiază algebra logică?

3). Poate fi exprimat un enunț sub forma unei propoziții interogative?

4). Cum se fac afirmațiile logice complexe?

5). Ce valori pot lua variabilele booleene?

6). Cum se determină adevărul sau falsitatea unei afirmații simple? O declarație compusă?

7). Ce este o operațiune logică?

8). Denumiți operațiile logice. Cum sunt desemnate?

9). Numiți prioritatea operațiilor logice.

1). Какие существуют основные формы мышления?

2). Что изучает алгебра логики?

3). Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?

4). Как получаются сложные логические высказывания?

5). Какие значения могут принимать логические переменные?

6). Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?

7). Что такое логическая операция?

8). Назовите логические операции. Как они обозначаются?

9). Назовите приоритет логических операций.

Контроль знаний: самостоятельная работа №1 «Основные понятия алгебры логики»:

выполнить следующее задание:

Составить истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи.

Упражнение

При опросе очевидцев на месте происшествия один из свидетелей сказал, что машина, нарушившая правила, была иномарка и светлого цвета.

Записать условие задачи на языке алгебры логики и составить истинное тождество, если известно, что

А) свидетель был прав только в одном из своих утверждений.

Решение:

Введем обозначения:

А = «машина была иномарка»,

В = «машина была светлого цвета».

Пусть свидетель прав в своем первом утверждении, т.е. А = 1, и не прав во втором, т.е. В = 0, тогда А  В = 1

Допустим обратное, свидетель не прав в первом утверждении, т.е А = 0 и прав во втором, т.е. В = 1, тогда  А  В = 1

Сложив два истинных высказывания, мы получим истинное высказывание, реализующее условие задачи на языке алгебры логики:

А  В   А  В = 1

Ответ: А  В   А  В = 1

Б) свидетель оба раза солгал или же был полностью прав.

(самостоятельно)

Высказывания, как мы уже знаем, могут быть истинными или ложными.

Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Таким образом, таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции .

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n - количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Упражнение 1.

Определить истинность логического выражения F(А, В) = (А ۷ В) ٨ (¬А ۷ ¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. mстрок=2n , m=22=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А ۷ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А ۷ ¬В; 5) (А ۷ В) ٨ (¬А ۷ ¬В).

5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

А В А ۷ В ¬А ¬В ¬А ۷ ¬В F

0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Упражнение 2.

Построить таблицу истинности для логического выражения

F = (A V B) /\ С

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С

2. количество строк таблицы = 23 =8

3. В формуле 3 логические операции.

4. Расставляем порядок действий

1) А ۷ В; 2)С ; 3) (A V B) /\ С .

5. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А В С A V B (A V B) /\ С

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 0

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0

Задача 1. Определить истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

Решение:

Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «За окном светит солнце»

В = «За окном дождь»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B) = A /\ ¬B

построим таблицу истинности для данной логической функции.

A B ¬B A /\ ¬B

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

Задача 2. Определить истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

Решение:

Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

А = «Гости смеялись»

В = «Гости шутили»

С = «Гости расходились по домам»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B, С) = A /\ B /\¬C

Построим таблицу истинности для данной логической функции.

A B C ¬C A /\ B /\¬C

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

Задание 3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X/\¬Y/\Z 2) ¬X\/¬Y\/Z 3) X\/Y\/¬Z 4) X\/Y\/Z

Решение (через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X Y Z F ¬X ¬Y ¬Z ¬X/\¬Y/\Z ¬X\/¬Y\/Z X\/Y\/¬Z X\/Y\/Z

0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Домашнее задание:

1) Определить истинность следующего высказывания: «Ни сна, ни отдыха измученной душе»

2) Составить таблицу истинности для выражения F(X, Y, Z) = X /\ (Y \/ ¬Z)

3) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X Y Z F

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

Каким выражением может быть F?

1) X /\ Y /\ Z 2) ¬X \/ ¬Y \/ Z 3) X \/ Y \/ Z 4) X /\ Y /\ ¬Z

4) На языке алгебры логики составить истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи:

Школьника, Миша, остававшийся в классе на перемене, был вызван к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчик ответили следующее: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.