Логические выражения

Презентация по математике преподавателя « Орского технического техникума имени

А. И. Стеценко » филиал пос. Энергетик Николаевой Натальи Юрьевны Оренбургская область Новоорский район.

Логические выражения (Булева алгебра).

Определи, какие из нижеприведенных фраз являются высказываниями с точки зрения алгебры логики. Определи значение высказывания (истина или ложь):

• Два больше трех.
• Земля – планета Солнечной системы.
• Каждый параллелограмм является квадратом.
• Волга впадает в Каспийское море.
• В феврале 30 дней.
• Остров – это часть суши со всех сторон окруженная водой.

Рассмотрим два простых высказывания: А=«Два умножить на два равно четырем». В=«Два умножить на два равно пяти». В первом случае высказывание (А=1), т.е оно истинно. Во втором случае высказывание (В=0), т.е оно ложно.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

инверсия

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное истинным.

Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А в алгебре логики принято обозначать А. A

Таблица функции логического отрицания

A

A

0

1

1

0

конъюнкция

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.(*,^,и,&,AND) Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции) , истинно тогда и только тогда, когда истины все входящие в него простые высказывания.

Операцию логического умножения (конъюнкции) принято обозначать значком «  » либо «  » . A  B

Таблица истинности функции логического умножения

А

В

0

A * B

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

дизъюнкция

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.(  ,или,OR,+) Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «  », либо значком сложения «+» . A  B

Таблица истинности функции логического сложения.

А

В

0

A  B

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

импликация

Логическое следствие (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…». Логическая операция импликация «если А, то В», обозначается А В

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второго высказывания). Таблица истинности логической функции «импликация».

А

0

В

A В

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

эквивалентность.

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Таблица истинности логической функции эквивалентность.

А

0

В

A ~ В

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Ответить на вопросы: 1. Приведите примеры истинного высказывания, ложного высказывания. 2. Что такое конъюнкция, дизъюнкция, инверсия? 3. Определить значение истинности следующих высказываний: а) Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом. б) Рыбу ловят сачком или ловят крючком, или мухой приманивают, иль червяком. в) Буква «а» – первая буква в слове «аист» или «сова».

4. Пусть А = « это утро ясное », а В = « это утро теплое ». Выразите следующие формулы на обычном языке. 1) A&B; 2) A&  B; 3) A&B; 4)  A  B; 5) A  B; 6)  A  B.

Логические выражения и таблица истинности

Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2*2 = 5 или 2*2 = 4) и (2*2  5 или 2*2  4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания: А = «2*2 = 5» – ложно (0), В = «2*2 = 4» – истинно (1). Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: «(А или В) и (  А или  В)».

При выполнении логических операций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность . Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки: Типы задач:

№ 1 Найти значение логического выражения и составить таблицу истинности: F = (A  B)& (  A  B), если А = «2*2 = 5» – ложно (0), В = «2*2 = 4» – истинно (1). Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции: F = (A  B)&(  A  B) = (0  1)&(1  0) = 1&1 =1

Таблица истинности логической функции F = (A  B)&(  A  B)

A

B

0

A  B

0

0

1

 A

0

1

 B

1

1

1

0

1

 A  B

1

1

1

0

(A  B)&(  A  B)

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

№ 2.Доказать , что логические выражения  A &  B и A  B равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения  A &  B

A

B

0

0

 A

0

1

 B

1

1

1

1

0

1

 A &  B

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

Теперь построим таблицу истинности логического выражения A  B.

A

B

0

0

0

A  B

1

1

0

A  B

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

B; 2) A  B; 3)  B  (  B &  C) " width="640"

Составьте в тетради таблицы истинности следующих логических выражений: 1)  A=B; 2) A  B; 3)  B  (  B &  C)

Логические схемы. Схематическое изображение: логических операций.

и

или

не

1

1

1

0

1

не

0

и

или

0

0

0

0

1

0

0

1

не

или

и

1

1

1

1

и

1

1

1

или

1

0

0

и

0

0

0

или

0

№ 3 Начертить логическую схему выражения:1 + 0 * 1. №4 Начертить логическую схему выражения: не (1 и (0 или 1) и 1).