Магические квадраты

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Ордынского района Новосибирской области – Филипповская средняя общеобразовательная школа

Проект по математике

«Магические квадраты»

Выполнили: ученики 7 класса: Пономарев Богдан, Гущин Станислав

Учитель: Бидатова Оксана Ануарбековна

с. Филиппово 2020 г.

1. Введение.

Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.

Цель: изучение магических квадратов: их видов, способов заполнения и применения на практике.

Задачи:

• познакомиться с историей появления магических квадратов;

• выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

• выявить области применения  магических квадратов.

Актуальность выдвинутой нами проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. Мы считаем, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.

1. Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n², суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной. (рис. 1)

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них Пьер де Ферма.

1. История появления магических квадратов.

По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9  получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти. (рис. 2)

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты

1. Виды магических квадратов.

Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)

Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)

Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)

Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)

Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.

Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов3,4,5порядка несуществует.

Мультимагический квадарат –обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)

9. Вывод по теме

• Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

• Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

• Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка

• МК является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki

2. http://xreferat.ru

3. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.

4. http://www.informio.ru

5. http://www.coolreferat.com