Математические методы при решении задач по "Технической механике"

ЗАЯВКА

на участие в Республиканском конкурсе

исследовательских работ (проектов)

по дисциплинам: история, математика, физика

Министерство образования Республики Башкортостан

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Стерлитамакский химико-технологический колледж

Республиканский конкурс исследовательских работ (проектов)

«Использование математических методов для решения профессионально-ориентированных задач»

среди обучающихся, осваивающих программы ППССЗ

на базе основного общего образования ПОО Республики Башкортостан

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Математические методы при решении задач по учебной дисциплине

«Техническая механика»

2018 г

Аннотация

Исследовательская работа на тему «Математические методы при решении задач по учебной дисциплине «Техническая механика».

В данной работе мы рассмотрели профессионально ориентированные задачи, для чего они необходимы, какие конкретно в данной дисциплине решаются. Исследовали роль математики в технических дисциплинах. На примерах конкретных задач стало ясно, что роль математики огромная.

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения, производные, интегралы, уравнения и системы уравнений, линейное пространство и векторы, линейные операторы, квадратичные формы. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение.  

Объект исследования – учебная дисциплина «Техническая механика»

Предмет исследования – использование математических методов в решении задач по технической механике.

Цель данной исследовательской работы – выявить математические методы, которые применяются для решения задач по технической механике.

Задачи исследования

1. Показать взаимосвязь математики и технической механики на примере задач.

2. Научиться применять в технической механике математический аппарат

3. Познакомиться с основными понятиями технической механики

4. Углубить, актуализировать новые знания;

5. Научить применять полученные знания;

6. Формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать

Методы исследования:

1. Теоретическое изучение материала.

2. Поиск информации о применении математики по учебной дисциплине техническая механика из различных источников.

3. Решение задач по учебной дисциплине техническая механика.

Практическая значимость данной работы: работу можно использовать в качестве примера, показать значимость изучения математики на данной специальности, механика как самостоятельный предмет быть не может.

Содержание

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполните свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе». (М.И.Калинин)

Введение

Необходимой составляющей профессиональной деятельности современного специалиста технической сферы является использование математического аппарата для решения различных задач. Исследование таких задач требует применения математического моделирования объектов, явлений и процессов, использования количественных методов обработки данных, различных вычислительных средств. Это определяет особую роль математической подготовки будущего специалиста в системе подготовки СПО.

Профессиональная направленность обучения математике предполагает такое содержание учебного материала и такую организацию его усвоения, которые не нарушают системной логики построения курса математики и позволяют моделировать познавательные и практические задачи профессиональной деятельности механика.

Профессионально ориентированная задача — это задача, условие и требование которой представляют собой модель некоторой ситуации, возникающей в профессиональной деятельности, а исследование этой ситуации осуществляется средствами математики.

Под профессионально ориентированной математической задачей будем понимать такую задачу, содержание которой связано с объектами и процессами будущей профессиональной деятельности обучаемого, а ее исследование с помощью математического аппарата способствует осознанному применению математических знаний при изучении цикла общепрофессиональных и специальных дисциплин, а также формированию профессиональной компетентности будущего специалиста. В профессионально ориентированных математических задачах с техническим содержанием отражаются межпредметные связи с физикой и раскрываются прикладные аспекты научных знаний в профессиональной деятельности механика.

Актуальность. Математика и техническая механика – две на первый взгляд далекие друг от друга науки. Взаимосвязь между этими науками, роль математических методов в решении технических процессов, объектов и явлений были отмечены учеными ещё в XVII веке. В XX веке происходило бурное проникновение математических методов в самые различные науки, в том числе и в механику.    

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения, производные, интегралы, уравнения и системы уравнений, линейное пространство и векторы, линейные операторы, квадратичные формы. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение.  

Объект исследования – учебная дисциплина «Техническая механика»

Предмет исследования – использование математических методов в решении задач по технической механике.

Цель данной исследовательской работы – выявить математические методы, которые применяются для решения задач по технической механике.

Задачи исследования

1. Показать взаимосвязь математики и технической механики на примере задач.

2. Научиться применять в технической механике математический аппарат

3. Познакомиться с основными понятиями технической механики

4. Углубить, актуализировать новые знания;

5. Научить применять полученные знания;

6. Формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать

Методы исследования:

1. Теоретическое изучение материала.

2. Поиск информации о применении математики по учебной дисциплине техническая механика из различных источников.

3. Решение задач по учебной дисциплине техническая механика.

В данной работе мы рассмотрим значение математики в современном мире, изучим основные аспекты предмета «Техническая механика», решив, подробно задачи, определим математические методы, используемые при решении, в заключении сделаем выводы.

1. Значение математики в современном мире

Какими технологиями должно обладать государство, чтобы в ХХI веке быть сильным и независимым? Космос, атомная энергетика, шифрование, проектирование, гуманитарные технологии - математика нужна для всех этих и многих других технологий, без которых немыслимо будущее.

Математика является основой, базисом для всех естественных и многих гуманитарных наук. Благодаря развитию этой науки, человечество сделало впечатляющий технологический рывок за последнее столетие. Без математики невозможно развитие физики, химии, инженерного дела, программирования, архитектуры и многих других дисциплин. Не зная математики нельзя построить дом, сконструировать двигатель внутреннего сгорания, создать компьютерную программу. Математика – это средство, инструмент для других научных дисциплин, при помощи которого можно переводить реальные свойства объекта или системы в абстрактные математические символы и строить модели будущей работы системы или объекта. Математика – универсальный язык, который поймут в любой стране.

Без знания математики жить в современном мире в период глобализации невозможно. Но если большинству людей достаточно элементарных основ этой науки, то для успешной работы в некоторых сферах человеческой деятельности требуются глубокие знания данной дисциплины.

Возможно, в будущем грань между математикой и другими науками сотрется, но сейчас специально обученные математики совершенно необходимы в наукоемких производствах любого профиля, в социологии, политике, образовании, инженерных и технических специальностях.

В стерлитамакском химико-технологическом колледже на специальности 15.02.01 Монтаж и техничекая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) учебную дисциплину «Техничекая механика» начинают изучать на втором курсе. Обучающиеся не редко сталкиваются с проблемой решения задач по базовым техничеким дисциплинам. Поэтому в своей работе мы решили рассмотреть основные задачи технической механики и математические методы, используемые для решения этих задач.

1. Предмет механики. Основные понятия и определения

Техническая механика – это наука, изучающая различные механизмы, их синтез и анализ. На практике же это означает соединение трех дисциплин – сопротивления материалов, теоретической механики и деталей машин. Она удобна тем, что каждое учебное заведение выбирает, в какой пропорции преподавать эти курсы.

Техническая механика – это наука о механическом поведении твердых деформируемых тел при действии на них силовых, температурных и других нагрузок. Техническая механика изучает вопросы подбора геометрических размеров поперечного сечения стержней – основных элементов строительных конструкций из условия полной надёжности работы и наибольшей дешевизны конструкции.

Предмет механики. Основные понятия и определения

Механика – это часть физики, изучающая механическое движение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц в пространстве. В природе – это движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и водные течения и т.п.; в технике – движения различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многое другое.

В механике рассматриваемые взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих тел или возникают деформации, например, притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела.

Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона, предметом изучения которой являются движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики неприменимы – они заменяются законами квантовой механики.

Классическая механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на них сил). Методы и зависимости, устанавливаемые в кинематике, используются при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при решении задач динамики.

Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

Статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики всегда рассматриваются в связи с законами динамики.

Основными понятиями в механике, физике и естествознании в целом являются пространство и время. Всякое материальное тело имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выражает последовательность состояний материи, составляющих любой процесс, любое движение. Таким образом, пространство и время представляют собой наиболее общие формы существования материи.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. 

Поступательным движением называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д. 

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).

3.Роль механики в подготовке будущего инженера-механика. Основные этапы развития механики

Теоретическая механика не только позволяет объяснить ряд важных явлений в окружающем мире, но и служит научным фундаментом для многих технических дисциплин. Ее методами и приемами пользуются при всех технических расчетах, связанных с проектированием различных сооружений и машин и их эксплуатацией.

Помимо важного образовательного значения, изучение теоретической механики играет огромную роль в развитии профессионального мышления техника или будущего инженера. Чем лучше и глубже будут усвоены студентами основные положения теоретической механики, тем легче будет для них переход к продуктивному изучению специальных технических дисциплин, необходимых для инженерной деятельности.

Таким образом, учитывая, что фундаментом инженерного образования служат предметы физико-математического цикла, к числу которых относится теоретическая механика, очевидна необходимость выявления психолого-педагогических условий совершенствования преподавания теоретической механики будущим инженерам с целью улучшения их профессиональной подготовки и развития у них профессионально важных качеств.

4.Математические методы, применяемые при решении задач

Принципы и способы решения задач по теоретической механике рассмотрены на простейших примерах, где необходимо определить какие-либо факторы, действующие на тело, скорость, ускорение, работу, мощность и другие физические величины. На основе результатов расчетов с использованием приемов теоретической механики приступают к решению задач методами сопротивления материалов, а затем переходят к расширенным вопросам, которые ставит раздел «Детали машин»

Тема: Решение задач на равновесие геометрическим способом

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и находится в равновесии.

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни»

Решение.

1. Усилия, возникающие в стержнях креплениях, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики). Усилия направленны вдоль стержней

2. Освободим точку А от связей, заменив действие связей их реакциями

3.Система находится в равновесии, построим треугольник сил.

Построение начнем и известной силы, вычертив вектор в некотором масштабе. Из концов вектора проводим линии параллельные реакциям и . Пересекаясь они создадут треугольник

Зная масштаб построений и измерив длину строн треугольника, можно определить величину реакций на стержнях.

1. Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическим соотношением, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла – величина постоянная .

2. Для данного случая:

;

В данной задачи использовали такие математические методы: нахождение значений тригонометрических функции, теорема синусов, использования метода уравнений.

Пример 2. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии. Определить усилия на стержнях

Решение.

1. Нанесем на схему возможные направления усилий, приложенных в точке А. Реакция стержней – вдоль стержня, усилия каната – вдоль каната от точки А к точке В.

2. Груз находится в равновесии, значит в равновесии находится точка А, в которой пересекаются три силы.

Освободим точку А о связей и рассмотрим ее равновесие.

1. Построим треугольник для сил, приложенных к точке А, начиная с известно силы . Стороны треугольника параллельны предполагаемым направлениям сил, приложенным к точке А. образовался прямоугольный треугольник:

1. Неизвестные реакции стержней можно определить из соотношений в прямоугольном треугольнике:

В данной задаче использовали: соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, выражали синус угла как отношение противолежащего катета к гипотенузе, с помощью получившегося уравнения получили значение .

Тема: Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Пример 3. Система трех сил находится в равновесии. Известны проекции двух сил системы на взаимно перпендикулярные оси и :

Определить, чему равна и как направлена третья сила системы.

Решение.

1. Из уравнений равновесия системы определяем:

1. По полученным величинам проекций определяем модуль силы:

;

1. Направление вектора силы относительно оси

Угол с осью будет равен

Математические методы: Система линейных уравнений, нахождение модуля, составление уравнений, составление отношений косинуса в прямоугольном треугольнике.

Тема: Основные понятия кинематики.

Пример 4. Дано уравнение движения точки: . Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые три секунды.

Решение.

1. Уравнение скорости

2. Скорость в конце третьей секунды () м/с.

3. Средняя скорость =

Пример 5.Свободная материальная точка, массой 5 кг, движется согласно уравнению . Определить величину движущей силы.

Решение.

1. Ускорение точки:

2. Действующая сила согласно основному закону динамики

Пример 6. Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению . Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость .

Решение.

1. Составим расчетную схему, вберем систему координат с осью вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения.

При движение равноускоренное

1. Определим ускорение движения:

Силу направим в обратную от ускорения сторону.

1. По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

1. Подставим все известные величины в уравнение равновесия:

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

В данных задачах используют понятие производной функции для нахождения определенных значений, производная второго порядка, принцип Даламбера, составление уравнений, использование значений тригонометрических функций.

Тема: Геометрические характеристики плоских сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника

Представим прямоугольник высотой и шириной в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: . Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси :

=; получим: .

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси , получим:3

Очевидно, что для сопротивление повороту относительно оси больше чем оси .

Для квадрата: ,

Полярный момент инерции круга.

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем осевые

Представим в виде совокупности бесконечно тонких колец. Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника с длиной стороной равной соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: .

Подставим это выражение в формулу для полярного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным образом можно получить формулу для полярного момента инерции кольца:

, где - наружный диаметр кольца, – внутренний диаметр кольца.

Для введения таких понятий, как осевые моменты инерции прямоугольника, полярного момента инерции круга необходимо знать правила нахождения неопределенного и определенного интеграла, таблицы интегралов, формулу Ньютона-Лейбница.

Заключение

В результате проделанной работы, мы изучили литературу о роли математики в технических специальностях. Решив задачи по технической механике, выявили математические методы, используемые при решении.

Целью данной работы было выяснить какие математические методы используем при решении задач по технической механике. Цель данной работы достигнута. Мы решили задачи из разных разделов дисциплины и по каждой теме применяли различные методы решения.

Решение большого количества задач по кинематике на свободное падение тел позволило сделать следующие наблюдения:

1. Очень часто случается так, что одну и ту же задачу можно решить различными способами

2. Несмотря на то, что решение многих задач возможно с применением нестандартных подходов к ним, актуальным остается общий подход – аналитический по уравнениям движения и скорости, так как в ходе решения задачи постоянно приходится прибегать к ним.

3. Для того, чтобы научиться решать задачи по механике, затем, прибегая к разным способам решения, необходимо хорошо запомнить

- формулу для вычисления средней скорости,

- формулу для вычисления перемещения при прямолинейном равнопеременном движении

- формулу для вычисления мгновенной скорости при прямолинейном равнопеременном движении,

- уравнение зависимости координаты от времени

Поставленные задачи достигнуты.

1. Показали взаимосвязь математики и технической механики на примере задач.

2. Научились применять в технической механике математический аппарат

3. Познакомились с основными понятиями технической механики

4. Углубили и актуализировали новые знания;

5. Научись применять полученные знания;

Информационное обеспечение

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики 2013, с.469

2. Вереина Л.И., Краснов М.М. Техническая механика : учебник для студ. учрежденийсред. проф. образования /—7-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2013. —352 с.

3. Горбунова Н.Ю. Современные исследования социальных проблем, 2017, том 8, № 4

«Использование профессионально ориентированных задач математического моделирования при обучении студентов инженерного направления»

4. Никаноркина Н. В. Профессионально ориентированные задачи как средство осуществления профессионально направленного обучения математике студентов экономических вузов // Молодой ученый. — 2014. — №13. — С. 276-279.

5. Олофинская В.П. Техническая механика: курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: учебное пособие, 3-е издание, М, ФОРУМ, 2012, с.352.