Студенческая научно-практическая конференция
«Студент XXI века»
Исследовательская работа
Математические модели реальных процессов в естествознании .
2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Математика в естествознании 5
Математические модели реальных процессов в естествознании 8
Заключение 14
Список использованной литературы 16
Введение
Знаменитое высказывание «Математика - это язык, на котором говорят все точные науки» принадлежит Николаю Ивановичу Лобачевскому, человеку, отдавшему почти двадцать лет своей жизни строительству и развитию Казанского университета, замечательному педагогу, просветителю и методисту.
Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) - наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения).
К точным наукам принято относить такие науки, как химия, физика, астрономия, математика, информатика. Так исторически сложилось, что точные науки главным образом уделяли внимание неживой природе. В последнее время говорят о том, что и наука о живой природе, биология, сможет стать точной, поскольку в ней все чаще применяются те же методы, что в химии, физике и т.д. Уже сейчас в биологии есть точный раздел, относящийся к точным наукам, - генетика.
Я солидарна со словами Н.И.Лобачевского, но хочу добавить, что на «языке математики» люди говорят ежедневно в любой отрасли, математика – это язык всех наук.
Все физические законы записаны математическими формулами. Все законы движения планет, звёзд и галактик подчиняются математическим законам. Математика - это царство порядка и строгой логики. «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения.»
―говорил Николай Иванович Лобачевский
Актуальность темы:
Обратить внимание на объединение математики с спектром естественных наук, (физики, химии, астрономии, биологии,)
Цель:
Гипотеза
Математика в естествознании
Математика – источник представлений и концепций в естествознании.
Для естествознания и других наук математика вырабатывает структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук. Это происходит из-за особенности математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя при этом отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств. Они называются отношениями отношений. Т.к. эти отношения особые, то математике удаётся проникать в самые глубокие характеристики мира и говорить на языке структур, определяемых как инварианты систем. Глубинные проникновения в природу делают математику методологом и носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории". Математика вырабатывает модели возможных ещё неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.
Когда-то И.Кант сказал: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах". Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".
Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного - той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.
Т.к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.
При описании математика выявляет только одну характеристику предмета и, отслеживая её вариации, выводит закономерность. На остальные характеристики не обращается внимание, т.к. они мешают исследованию. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Из-за того, что за одним свойством не видно других особенностей предмета или явления, Ю.Шрейдер называет математику пародией на природу. Но всё не так плохо. Математика просто не может работать по-другому, и при таком подходе есть чёткая заданность исследования, когда нужно проследить «поведение» объекта на основе определённого свойства, проследить за изменениями и развитием и отобразить информацию в уравнениях, графиках, схемах.
Математические обобщения, которые развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной программы Эйнштейна. Отказавшись не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырехмерной римановой метрики. Это автоматически привело его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний предел логически последовательного применения скорости как физического понятия. Математики к этому времени уже постепенно привыкли к абстракциям такого рода, разрабатывая неэвклидову геометрию и ее различные модели.
Используя математические методы исследования науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.
Итак, математика играет важную роль в качестве языка, особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании.
Математические модели реальных процессов в естествознании
Математика в физике
Математика в физике – общее название математических методов исследования и решения дифференциальных уравнений физики. Теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук. Математическая физика тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время математическая физика – раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие информационных технологий включаются те математические методы, применяемые для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений.
Методы математической физики как теории математических моделей физики начали в кон. XVII в. интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие (XVIII – I-я половина XIX века) информационных технологий и их успешное применение к изучению математических моделей огромного объема различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье 'е, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и др. ученых. Большой вклад в развитие информационных технологий внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Со II-й пол. XIX в. методы математической физики успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро и аэродинамике и других направлений исследования физических явлений в сплошных средах. Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнения математической физики. Кроме дифференциальных уравнений математической физики, при описании математических моделей физики применяются интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики
Математика в астрономии
Математика всегда помогала развитию других наук и сама развивалась под их воздействием. В астрономии математика помогла сделать многие открытия. Новые алгоритмы, разработанные математиками, переходили на службу астрономам.
Астрономию нельзя представить без математики, в связи с большим количество математических подсчѐтов и геометрических построений. Где мы можем применить эти подсчѐты и построения? Например, в методах вычисления расстояний от Земли до других небесных тел. Методов существует несколько. Рассмотрим теорию теней Беруни и метод параллакса. Теория теней. С целью измерения Земли, Луны и Солнца и определения расстояния от Земли до Солнца и Луны, Райхан Беруни создал совершенную с математической точки зрения теорию теней. Суть теории состоит в том, что, если мы от точки, где стоим, на некотором расстоянии направим на Солнце круг радиусом, то на Землю ляжет полная тень (т.е. в этой точке круг закрывает Солнце полностью) или частичная тень (в этих точках Солнце закрывается частично). На основании измерений размеров этих теней Беруни разработал способ вычисления расстояния от Земли до Солнца, а также способ вычисления диаметра Солнца. Но самым распространѐнным способом является определение расстояний по параллаксам светил. Измерение расстояний в астрономии одна из самых важных и трудных задач, так как мы лишены прямого контакта с исследуемыми телами. Однако методы бесконтактных определений расстояний были известны уже давно - это методы параллактических углов. Для измерения расстояния до тел Солнечной системы применяется метод параллакса. Горизонтальным параллаксом называют угол, под которым с планеты виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения. Горизонтальный параллакс - угол между направлениями на светило из точки, из которой оно видно на высоте 0 и из точки, где оно видно на высоте 90. Согласно формуле расстояние до светила равно отношению радиуса Земли к синусу параллактического угла. Однако данная формула не может использоваться на практике, потому, что для работы по ней надо наблюдать светило вблизи горизонта, что практически не возможно ввиду технических трудностей (атмосферные помехи, засветка, рельеф местности). Поэтому обычно пользуются модифицированной формулой, в которой угол называется суточным параллаксом. Сейчас для определения расстояния до некоторых тел (Луна, Венера) используют методы радиолокации: посылают радиосигнал на планету, сигнал отражается и фиксируется приѐмной антенной. Зная время прохождения сигнала определяют расстояние. Пользуясь приведенными соотношениями легко показать, как можно измерить линейные размеры тел солнечной системы, если измерены их угловые размеры. Данные формулы, очевидно, не подходят для измерения расстояний до звезд, так как расстояния до звезд чрезвычайно велики по сравнению с радиусом Земли, и параллактический угол будет неизмеримо мал. Зато звезды можно считать неподвижными в течение многих лет, и в качестве базиса параллактического треугольника можно взять радиус земной орбиты. Тогда угол, на который смещается звезда за половину года, называется годичным параллаксом. Впервые методом годичного параллакса измерил расстояние до ВЕГИ в 1835-1837 годах Яков Струве. Радиус Земли оказывается слишком малым, чтобы служить базисом для измерения параллактического смещения звѐзд и расстояния до них. Поэтому пользуются годичным параллаксом вместо горизонтального. Годичным параллаксом звезды называют угол , под которым со звезды можно было бы видеть большую полуось земной орбиты, если она перпендикулярна лучу зрения. 139
Также используется единица расстояния парсек. Парсек – расстояние, с которого большая полуось земной орбиты, перпендикулярная лучу зрения видна под углом 10 или расстояние до звезды, которое соответствует параллаксу в 10. Расстояние до звезды в парсеках выражается формулой: 1 парсек = 3,26 светового года = 206265 а. е. = 3 * 1011 км. Световой год - расстояние, которое свет проходит за 1 год. Измерением годичного параллакса можно надѐжно установить расстояние до звѐзд, находящихся не далее 100 парсек или 300 св. лет.
Математика в биологии
Характерной чертой современных научных исследований является широкое применение точных математических методов в самых разнообразных областях знания. Проникновение математических методов в науку о живой природе идет сейчас по многим путям: с одной стороны - это использование современной вычислительной техники для быстрой и эффективной обработки биологической и медицинской информации, с другой - создание математических моделей, описывающих живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и 'обратная связь', возникающая между математикой и биологией: биология не только служит полем для применения математических методов, но и становится все более существенным источником постановки новых математических задач. В книге рассказано о некоторых проблемах и результатах, связанных с применением математических методов в изучении биологических явлений
Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле - как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель - это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели.
Математика в химии
Химия широко использует в своих целях достижения других наук, в первую
очередь, физики и математики. Химики обычно определяют математику упрощенно как науку о числах. Числами выражаются многие свойства веществ и характеристики химических реакций. Для описания веществ и реакций используют физические теории, в которых роль математики настолько велика, что иногда трудно понять, где физика, а где математика. Отсюда следует, что и химия немыслима без математики.
Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения – основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике. Выражение «математическая химия» прочно вошло в лексикон химиков. Многие статьи в серьезных химических журналах не содержат ни одной химической формулы, зато изобилуют математическими уравнениями.
Заключение
Книга природы написана на языке математики, - утверждал Г. Галилей.
Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов математики создали ей славу образца научного знания. Выгоды естествознания от использования математики многообразны. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики.
Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом.
Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. В эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.
Назначение математики состоит в том, она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.
Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений.
Эти глубинные проникновения в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.
В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах".
Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах.
Методологическое значение математики для других наук проявляется еще в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой.
Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.
Список использованной литературы:
Буслова М.К., Горалевич Т.А., Готт В.С. и др. Современное естествознание в системе науки и практики/ под ред. Сачкова Ю.В., Горолевич Т.А. Мн.:
Канке В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов. М.: Логос, 2002.
Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания. Краткий курс: Учебник. М.: Высш. шк., 2003.
Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А., Судариков А.М. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов/ под ред. Скоробогатова В.А. Спб.: Союз,
Соломантин В.А. История и концепций современного естествознания: Учебник для вузов. М.: ПЕР СЭ, 2002.
www.domino.novsu.ac.ru.
www. ou.tsu.ru.
www. milogiya.narod.ru.
11
