Математические софизмы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Дмитриева Эллина ученица 9 «А» класса МОУ СОШ №1 г. Немана Калининградской области.

( Руководитель- Родич Валентина Григорьевна)

Математические софизмы – удивитель-ные утверждения, в доказательстве кото-рых кроются незаметные, а подчас и до-вольно тонкие ошибки.

Мартин Гарднер

Цель работы:

Исследовать во-прос о роли ошибки при решении задач на примерах мате-матических софиз-мов.

Задачи:

• Познакомиться с понятием софизма
• Проанализировать допускаемые замаскированные ошибки и составить классификацию софизмов
• Проиллюстрировать основные виды ошибок и результаты, к которым они приводят путём разбора математических софизмов

Актуальность темы:

Правильно понятая ошибка – это путь к открытию.

И.П. Павлов

Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Структура реферата:

Введение

1 часть

2 часть

Понятие софизма

Примеры софизмов

Историческая справка

алгебра

геометрия

Классификация

Литература

Заключение

Приложения

Основные понятия:

• Софизм – это такое суждение, в котором неправильные (ложные) предпосылки выдаются за истинные, в результате чего мы приходим к нелепым умозаключениям.
• В математическом софизме заведомо допускается замаскированная ошибка, которая в процессе вывода приводит к абсурдному результату.
• Разобрать софизм – это значит найти эту ошибку.

Историческая справка

• Термин « софизм » от греч. «измышление», «хитрость»
• Впервые этот термин ввёл Аристотель
• « Софистами » называ-ли древнегреческих философов в 5 – 4 вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.

В России:

В конце 19 – начале 20 веков вышла книга преподавателя Екатеринбургской гимназии Василия Ивановича Обреимого

«Математические софизмы».

В ней более 40 софизмов.

Классификация софизмов (по типу замаскированных ошибок):

Математический софизм

геометрический

алгебраический

Опора на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности»

Использование ошибочного чертежа

Не учитываются условия применимости теорем, формул и правил

а 2 = а

Выполнение запрещённых действий

Деление на 0

ПРИМЕРЫ СОФИЗМОВ

« 2 * 2 = 5»

«Дважды два – четыре,

Дважды два – четыре.

Это всем известно

В целом мире!

Дважды два – четыре,

Дважды два – четыре,

А не три, а не пять –

Это надо знать!»

1) 4 : 4 = 5 : 5

2) вынесем в левой части общий множитель "4" и в правой части общий множитель "5": 4(1:1) = 5(1:1)

3) Числа в скобках равны, поэтому:

4 = 5,

или

2 * 2 = 5.

Ошибка : неправильно вынесен общий множитель!

«Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

•   Пусть  а дм - длина спички и b дм - длина столба.

Разность между b и  a  обозначим через c .

• Имеем  b - a = c,

b = a + c.

• Перемножаем два эти равенства по частям, находим:

b 2 - ab = ca + c 2 .

• Вычтем из обеих частей bc.
• Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 – bc
• Вынесем в каждой части общий множитель за скобки:

b(b - a - c) = - c(b - a - c),

разделим обе части равенства на ( b – a – c ), получим b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b .  

Ошибка : В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба

«Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпен. АС и ВД перпен. АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Ошибка : Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра опирались на ошибочный чертеж . В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра .

«Загадочное исчезновение»

• Начертить на  прямоу - гольнике  13  одинако - вых  палочек  на  равном  расстоянии  друг  от  друга
• Разрезать  по  прямой 

M N .

• Сдвинуть  обе половин-ки.  
• Вместо  13   палочек 

окажется  12  палочек

• Куда исчезла палочка?

Решение:

Исчезнувшая  13   палочка  "улетучилась"   не  бесследно, она  удлинила  каждую  палочку  на  1/12 своей  длины.

Геометрическую причину этого понять очень легко. Прямая MN и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки 1/12 её длины, от третьей 2/12, от четвёртой 3/12 и т.д. Когда же мы сдвигаем обе части картона, то приставляем отсечённый отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсечённый отрезок больше предыдущего на 1/12 , то каждая палочка должна удлиниться на 1/12 своей длины. На  глаз   это  удлинение  незаметно, поэтому исчезно-вение  13   палочки  на  первый  взгляд  представляется  довольно  загадочным.

СОВЕТ : этот математический «фокус» можно показывать своим друзьям.

Надо помнить:

Любая допущенная ошибка в математи-ческом рассуждении ведёт к ошибочным результатам, порой нелепым и абсурд-ным!

Выводы:

• Математические софизмы очень полезны для изучающих математику:
• 1. Разбор софизмов развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Разбирая ошибки, мы осознаём их, а значит не повторяем их в других математических рассуждениях. Во многих софизмах допускаются одинаковые ошибки, отчётливое понимание сути таких ошибок значительно облегчит решение последующих аналогичных задач.
• 2. Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и важно.
• 3. Разбор софизма увлекателен. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его разбор.

Литература:

• Ганеев Х.Ж. Учителю математики об элементах краеведения. Кн. для учителя.- Екатеринбург, 1996.
• Игнатьев Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах.- Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995.
• Мазаник А.А. Реши сам. Интересные задачи для учащихся восьмилетней школы.- Минск: «Народная асвета», 1972.
• Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1984.
• Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.